1、3.1 数系的扩充和复数的概念31.1 数系的扩充和复数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程2.理解复数的概念、表示法及相关概念3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.发展数学抽象应用逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 复数的概念及代数表示预习教材P5051，思考并完成以下问题数的发展过程(经历)：计数的需要自然数(正整数和零)测量、分配中的等分解方程3x5分数表示相反意义的量解方程x31 负数度量解方程x22无理数(1)一元二次方程 x21 在实数集范围内的解
2、是什么？提示：无解(2)我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？提示：引入一个新数：i规定 i21.知识梳理 1.复数的定义形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做，满足 i2.全体复数所成的集合 C 叫做.2复数的表示复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的，a与 b 分别叫做复数 z 的与.3复数相等的充要条件在复数集 Cabi|a，bR中任取两个复数 abi，cdi(a，b，c，dR)，规定 abi 与 cdi 相等的充要条件是.虚数单位 1复数集代数形式实部虚部ac且bd知识点二 复数的分类思考并完成以下问题(1
3、)复数 zabi 在什么情况下表示实数？提示：b0.(2)如何用集合关系表示实数集 R 和复数集 C?提示：R C.知识梳理 复数的分类(1)复数 abi(a，bR)b0，b0，当a0时为纯虚数.(2)集合表示实数虚数自我检测1复数 i2 的虚部是()Ai B2C1 D2解析：i22i，因此虚部是 1.答案：C2如果(xy)ix1，则实数 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx0，y1Cx1，y0 Dx0，y0解析：(xy)ix1，xy0，x10，x1，y1.答案：A3复数 z(x21)(x1)i(xR)为纯虚数，则实数 x_.解析：z 为纯虚数，则 x10 且 x210，解得 x1.答案：
4、1探究一 复数的概念例 1 给出下列三个命题：若 zC，则 z20；2i1 虚部是 2i；2i 的实部是 0.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析 对于，当 zR 时，z20 成立，否则不成立，如 zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为 2，不是 2i，所以为假命题；对于，2i02i，其实部是 0，所以为真命题答案 B方法技巧 判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 abi 的形式，
5、更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部跟踪探究 1.下列命题中：若 aR，则(a1)i 是纯虚数；复数 z0 的实部和虚部均为 0；若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x1；两个虚数不能比较大小其中，正确命题的序号是()ABCD解析：在中，若 a1，则(a1)i 不是纯虚数，故错误；在中，若 x1，则(x21)(x23x2)i0 为实数，故错误；、正确答案：B探究二 复数相等的充要条件例 2 已知集合 M1,2，(m23m1)(m25m6)i，N1,3，MN3，则实数 m 的值为()A4 B1C1 或 4 D1 或 6解析 由 MN3得 3M，故(m23m1)(m
6、25m6)i3，因此得m23m13，m25m60，解得m4或m1，m6或m1，所以 m 的值为1，故选 B.答案 B方法技巧 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数跟踪探究 2.已知(2x8y)(x6y)i1413i，求实数 x，y 的值解析：由复数相等的充要条件得2x8y14，x6y13，解得x1，y2.探究三 复数的分类阅读教材 P51例解答略题型：复数的分类例 3 当实
7、数 m 为何值时，复数 zm2m6m(m22m)i?(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解析(1)当m22m0，m0，即 m2 时，复数 z 是实数(2)当 m22m0，且 m0，即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数(3)当m2m6m0，m22m0.即 m3 时，复数 z 是纯虚数方法技巧 解决复数分类问题的方法步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：对于复数 zabi(a，bR)的分类问题，要理解其分类的充要条件：复数 z 是实数b0；复数 z 为虚数b0；复数 z 为纯虚数a0，且 b0.(3)列方程(不等式)组：主要依据
8、虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程(组)，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏如本题中，易忽略对 m0 的限制(4)下结论跟踪探究 3.已知 mR，复数 zlg m(m21)i，当 m 为何值时，z 满足下列条件？(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数解析：(1)当m0，m210，即 m1 时，复数 z 是实数(2)当 m210 且 m0，即 m0 且 m1 时，复数 z 是虚数(3)当 lg m0 且 m210 时，此时无解，即无论实数 m 取何值均不能表示纯虚数课后小结(1)区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数 bi(b0，bR)不要只记形式，要注意 b0.(2)应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解(3)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数素养培优因忽视虚数不能比较大小而致误求满足条件2a(ba)i5(a2b6)i 的实数 a，b 的取值情况易错分析：想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中的复数应为实数自我纠正：由2a(ba)i5(a2b6)i，可得 a3(3b6)i0，所以a30，3b60，解得a3，b2.04 课时 跟踪训练
