1、2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A B C D2.设为虚数单位，给出下面四个命题：；为纯虚数的充要条件为；共轭复数对应的点为第三象限内的点；的虚部为.其中真命题的个数为（ ）A B C D3.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A B C D 4.在区间上随机取一个数，则方程表
2、示焦点在轴上的椭圆的概率为（ ）A B C. D5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A B C. D6.已知，若，则在的展开式中，含项的系数为（ ）A B C. D7.已知，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（ ）A B C. D8.已知函数，把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍，然后将图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，若当时，方程有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）A B C. D9.运行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C. D10.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C. D11.已知抛物线，过
3、点作该抛物线的切线，切点为，若直线恒过定点，则该定点为（ ）A B C. D12.已知函数的导函数为，且满足，若函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，其中，且与共线，则当取最小值时，为 14.已知圆的方程为，过圆上一点的切线方程为.由类比法可经过椭圆上一点的切线方程为.若过椭圆的第一象限内的点的切线经过点，则的最小值为 15.已知，满足约束条件其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则的值为 16.已知的三边分别为，所对的角分别为，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为 三、解答题 （
4、本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在等差数列中，其前项和为.等比数列的各项均为正数，且，公比为.若，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.18. 已知在几何体中，四边形是边长为的正方形，且平面，且，与平面所成角的正切值为.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小.19. 某学校高三有名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取名男生，名女生期未某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图. （1）试计算男生考试成绩的平均分与女生考试成绩的中位数（每组数据取区间的中点值）；（2）根据频率分布直方图可以认为，男生这
5、次考试的成绩服从正态分布，试计算男生成绩落在区间内的概率及全校考试成绩在内的男生的人数（结果保留整数）；（3）若从抽取的名学生中考试成绩优势（分以上包括分）的学生中再选取名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为，求的分布列与数学期望.参考数据，若，则，.20. 已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆的右顶点任意作直线，交抛物线于，两点，且，其中为坐标原点.（1）试求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点、，试求四边形的面积的取值范围.21. 已知函数，其中为实数.（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；（2）当，且时，若恒有，试求实数的取值范围.请
6、考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于，两点，求弦与劣弧围成的图形的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBBBC 6-10:BADDD 11、12：CC二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）设等差
7、数列的公差为，.，.整理得，解得或（舍去）.，.（2）设数列的前项和为，由，得，上述两式相减，得.数列的前项和为.18.解：（1）取的中点，连接，平面，在平面内的身影为，又，四边形为平行四边形，为与平面所成的角.，设，连接，.，平面，平面，.，.，又，平面.又平面.平面平面.（2），两两垂直，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，则，设平面的法向量为，则即取，得.设平面的法向量为，即取，得.设二面角的平面角为，即二面角的大小为.19.解：（1）男生 的平均分为.女生成绩的中位数为.（2）由（1）知，可知.可知成绩落在内的概率为，所求考试成绩在内的男生的人数大约为
8、（人）.（3）根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在的人数为，女生的人数为，可知随机变量.，.随机变量的分布列为0123.20.解：（1）双曲线的焦点为，椭圆中，可知其右顶点为，设直线的方程为，同联立整理，可得.设，.由，可知，即，可知.，.可知椭圆的方程为.（2）易知左焦点.当直线，中的一条直线的斜率不存在时，可知；当直线，的斜率均存在且不为零时，设的直线方程为，与椭圆方程联立化简得.设，.可知.将用代换可得，.（当且仅当时，取等号），.，可得.综合可知面积的取值范围为.21.解：（1）函数的定义域为，可知.当，即时，单调递增；当时，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数.令，当时，可知，故恒成立，可知，在区间上为单调递增函数，不妨设，且，则变为，即，设函数，由，得在时为单调递减函数，即，即，也即对与恒成立.因为，可知时，取最大值，即 .对时恒成立，由，可知，即取值范围为.22. 解：（1）由题意知，由，得圆的直角坐标方程为，由，故直线的变通方程为.（2）由，故圆心，半径.圆心到直线的距离为，所以，所以弦与劣弧围成的图形的面积.23.解：（1）由题意，得作出的大致图象如图所示，由不等式的解集为及图象，可知解得.（2）直线过点，且在函数图象的上方，且可看作直线的斜率，而过点和点的斜率为.当时，若直线在上方，则；当时，恒成立，只需，所以实数的取值范围为.
