1、第一讲 一 不等式3三个正数的算术几何平均不等式一、选择题1若a，b，c0，且3a4b5c6，则a3b2c的最大值为()A.B.C.D.解析：因为63a4b5caaa2b2b5c6，所以a3b2c，当且仅当a2b5c，即a1，b，c时，等号成立所以a3b2c的最大值为.答案：C2如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()A.3B.3C.3D.3解析：l4r2h，即2rh，Vr2h33.答案：A3若a，b，c为正数，且abc1，则的最小值为()A9 B8 C3 D.解析：因为a，b，c为正数，且abc1，所以abc3.所以0abc，27.所以339.当且仅当abc时等号成立答案：A
2、4已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3 B2 C12 D12解析：因为2x0,4y0,8z0，所以2x4y8z2x22y23z333412.当且仅当2x22y23z，即x2y3z，即x2，y1，z时取等号答案：C5函数f(x)5x(x0)的最小值为()A20 B.C15 D无最小值解析：f(x)5x315.当且仅当，即当x2时，不等式取等号，此时f(x)取最小值15.答案：C6设a，b，cR，且abc1，若M，则必有()A0M B.M1C1M8 DM 8解：M8，当且仅当abc时等号成立答案：D二、填空题7周长为1的直角三角形面积的最大值为_解析：设两直角边长为a，b，斜边长为c
3、，则c2a2b2，且ab1.1ab2(2)，即，当且仅当ab时取等号三角形的面积Sab，即Smax.答案：8(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：309设正数a，b，c满足abc1，则的最小值为_解：因为a，b，c均为正数，且abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2)9.于是(3a2)(
4、3b2)(3c2)339，当且仅当abc时等号成立，即1，故的最小值为1.答案：1三、解答题10求函数f( x)x(52x)2的最大值解：f(x)x(52x)24x(52x)(52x)3.当且仅当4x52x，即x时，等号成立所以函数的最大值是.11(2014江苏高考)已知x0，y0，求证：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.12(能力挑战)如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值解：设正六棱柱容器底面边长为x(x0)，高为h，由下图可有2 hx，所以h(1x)，VS底h6x2hx2(1x)2(1x)93.当且仅当1x，即x时，等号成立所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大，为.利用三个正数的算术几何平均不等式求最值时要注意三点：(1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变为正数(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出最值(3)必须取到等号，若取不到等号，必须经过适当的变形，使之取到等号
