1、第一讲 一 不等式3三个正数的算术几何平均不等式一、选择题1若a,b,c0,且3a4b5c6,则a3b2c的最大值为()A.B.C.D.解析:因为63a4b5caaa2b2b5c6,所以a3b2c,当且仅当a2b5c,即a1,b,c时,等号成立所以a3b2c的最大值为.答案:C2如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是()A.3B.3C.3D.3解析:l4r2h,即2rh,Vr2h33.答案:A3若a,b,c为正数,且abc1,则的最小值为()A9 B8 C3 D.解析:因为a,b,c为正数,且abc1,所以abc3.所以0abc,27.所以339.当且仅当abc时等号成立答案:A
2、4已知x2y3z6,则2x4y8z的最小值为()A3 B2 C12 D12解析:因为2x0,4y0,8z0,所以2x4y8z2x22y23z333412.当且仅当2x22y23z,即x2y3z,即x2,y1,z时取等号答案:C5函数f(x)5x(x0)的最小值为()A20 B.C15 D无最小值解析:f(x)5x315.当且仅当,即当x2时,不等式取等号,此时f(x)取最小值15.答案:C6设a,b,cR,且abc1,若M,则必有()A0M B.M1C1M8 DM 8解:M8,当且仅当abc时等号成立答案:D二、填空题7周长为1的直角三角形面积的最大值为_解析:设两直角边长为a,b,斜边长为c
3、,则c2a2b2,且ab1.1ab2(2),即,当且仅当ab时取等号三角形的面积Sab,即Smax.答案:8(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_解析:一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2240,当且仅当4x,即x30时取得等号,所以当x30时,一年的总运费与总存储费用之和最小答案:309设正数a,b,c满足abc1,则的最小值为_解:因为a,b,c均为正数,且abc1,所以(3a2)(3b2)(3c2)9.于是(3a2)(
4、3b2)(3c2)339,当且仅当abc时等号成立,即1,故的最小值为1.答案:1三、解答题10求函数f( x)x(52x)2的最大值解:f(x)x(52x)24x(52x)(52x)3.当且仅当4x52x,即x时,等号成立所以函数的最大值是.11(2014江苏高考)已知x0,y0,求证:(1xy2)(1x2y)9xy.证明:因为x0,y0,所以1xy230,1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.12(能力挑战)如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值解:设正六棱柱容器底面边长为x(x0),高为h,由下图可有2 hx,所以h(1x),VS底h6x2hx2(1x)2(1x)93.当且仅当1x,即x时,等号成立所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为.利用三个正数的算术几何平均不等式求最值时要注意三点:(1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数,若不是正数,必须变为正数(2)函数式中,含变数的各项的和或积必须是常数,才能利用“定理”求出最值(3)必须取到等号,若取不到等号,必须经过适当的变形,使之取到等号