1、第三章 导数及其应用 阶段综合提升 第二课 导数在研究函数中的应用 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)ln xax2(2a)x，讨论f(x)的单调性思路点拨 fx的定义域求fx解fx0或fx0，f(x)在(0，)上单调递增 当a0时，由f(x)0，得x1a.又由f(x)0得0 x1a，由f(x)1a，f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减 综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域求导数fx求fx0在定义
2、域内的根用求得的根划分定义区间确定fx在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.提醒：在求解中注意分类讨论和数形结合思想的应用.跟进训练1已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR，试求f(x)的单调区间解 f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.当2aa2，即a23时，f(x)0，f(x)在R上单调递增 当2a23时，由f(x)0得，xa2，由f(x)0得，2axa2，即a0得x2a，由f(x)0得a2x2a.f(x)在(，a2)及(2a，)上为增函数，在(a2，2a)上为减函数 综上所述，当a23时，f(x)的增区间为(，2a)，(a2，
3、)；减区间为(2a，a2)函数的极值、最值与导数【例2】已知函数f(x)12x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)当a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方解(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x1xx1x1x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，且极小值为12.(2)当a1时，f(x)12x2ln x，f(x)x1x0，则函数f(x)在1，e上为
4、增函数，所以f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(3)证明：设F(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3，则F(x)x1x2x21x1x2x2x，当x1时，F(x)0，故F(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)160，所以在区间1，)上，F(x)0恒成立 即f(x)g(x)恒成立 因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方函数的最值是函数的整体性质，要区别于函数的极值，求函数在闭区间上的最值，应先求开区间的极值，再与闭区间的端点值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值；反过来，已知最值时，要能求相应参数及与最值有关的其他问题
5、.跟进训练2已知函数f(x)13x312(2a1)x2(a2a)x(aR)(1)若函数f(x)在x2处取得极小值，求a的值；(2)若a0，求f(x)在0,1上的最大值解(1)f(x)x2(2a1)x(a2a)(xa)x(a1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，a1)a1(a1，)f(x)00 f(x)极大值极小值 a12，a1.(2)由(1)知，当a1时，f(x)在0,1上是增函数，f(x)maxf(1)a216；当a0时，f(x)在0,1上是减函数，f(x)maxf(0)0；当0a1时，f(x)在0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)13
6、a312a2.综上，f(x)max a216，a1，0，a0，13a312a2，0asin x(x0)”成立吗？如何证明？提示：成立，令f(x)xsin x，x0，则f(x)1cos x0，f(x)在(0，)上单调递增 又f(0)0，f(x)f(0)0，即xsin x0，xsin x.2如何证明函数不等式f(x)g(x)(xa)?提示：可构造函数h(x)f(x)g(x)(xa)，只需证明h(x)0即可，故可求h(x)min0.【例3】求证：当x1时，ln x12x22x32.思路点拨 要证ln x12x22x32，只需证ln x12x22x320，可构造函数g(x)ln x12x22x32，利
7、用导数研究其单调性从而证明原不等式 证明 令g(x)ln x12x22x32，则g(x)1xx2x22x1xx12x，由于x1，所以g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增又因为g(1)ln 1121221320，因为当x1时g(x)0，即当x1时，ln x12x22x32.利用导数证明不等式的常见形式与步骤 1常见形式：已知 xa，b，求证：uxvx.2证明步骤：将所给的不等式移项，构造函数 fxuxvx，转化为证明函数 fx0；在 xa，b上，判断 fx的符号；若fx0，说明fx在区间a，b上是增函数，只需将所给的区间的左端点的值代入fx，检验其值为零或为正，即证得fa0即可；若fx0，说明fx在区间a，b上是减函数，只需将所给的区间的右端点的值代入fx，检验其值为零或为正，即证得fb0即可.跟进训练3求证：当0 xx.证明 令g(x)tan xx，则g(x)sin xcos xx cos2 xsin2 xcos2 x11cos2 x1sin2 xcos2 x，当0 x0，所以g(x)在0，2 上单调递增，故g(x)g(0)0，即tan xx.Thank you for watching!
