1、第三章 导数及其应用 阶段综合提升 第二课 导数在研究函数中的应用 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)ln xax2(2a)x,讨论f(x)的单调性思路点拨 fx的定义域求fx解fx0或fx0,f(x)在(0,)上单调递增 当a0时,由f(x)0,得x1a.又由f(x)0得0 x1a,由f(x)1a,f(x)在0,1a 上单调递增,在1a,上单调递减 综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,函数f(x)在0,1a 上单调递增,在1a,上单调递减导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域求导数fx求fx0在定义
2、域内的根用求得的根划分定义区间确定fx在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.提醒:在求解中注意分类讨论和数形结合思想的应用.跟进训练1已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR,试求f(x)的单调区间解 f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0,解得x2a或xa2.当2aa2,即a23时,f(x)0,f(x)在R上单调递增 当2a23时,由f(x)0得,xa2,由f(x)0得,2axa2,即a0得x2a,由f(x)0得a2x2a.f(x)在(,a2)及(2a,)上为增函数,在(a2,2a)上为减函数 综上所述,当a23时,f(x)的增区间为(,2a),(a2,
3、);减区间为(2a,a2)函数的极值、最值与导数【例2】已知函数f(x)12x2aln x.(1)若a1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值;(2)若a1,求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;(3)当a1,求证:在区间1,)上,函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方解(1)由于函数f(x)的定义域为(0,),当a1时,f(x)x1xx1x1x,令f(x)0,得x1或x1(舍去),当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x1处取得极小值,且极小值为12.(2)当a1时,f(x)12x2ln x,f(x)x1x0,则函数f(x)在1,e上为
4、增函数,所以f(x)minf(1)12,f(x)maxf(e)12e21.(3)证明:设F(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3,则F(x)x1x2x21x1x2x2x,当x1时,F(x)0,故F(x)在区间1,)上是减函数,又F(1)160,所以在区间1,)上,F(x)0恒成立 即f(x)g(x)恒成立 因此,当a1时,在区间1,)上,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方函数的最值是函数的整体性质,要区别于函数的极值,求函数在闭区间上的最值,应先求开区间的极值,再与闭区间的端点值进行比较,最大的为最大值,最小的为最小值;反过来,已知最值时,要能求相应参数及与最值有关的其他问题
5、.跟进训练2已知函数f(x)13x312(2a1)x2(a2a)x(aR)(1)若函数f(x)在x2处取得极小值,求a的值;(2)若a0,求f(x)在0,1上的最大值解(1)f(x)x2(2a1)x(a2a)(xa)x(a1)当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,a)a(a,a1)a1(a1,)f(x)00 f(x)极大值极小值 a12,a1.(2)由(1)知,当a1时,f(x)在0,1上是增函数,f(x)maxf(1)a216;当a0时,f(x)在0,1上是减函数,f(x)maxf(0)0;当0a1时,f(x)在0,a上是增函数,在a,1上是减函数,f(x)maxf(a)13
6、a312a2.综上,f(x)max a216,a1,0,a0,13a312a2,0asin x(x0)”成立吗?如何证明?提示:成立,令f(x)xsin x,x0,则f(x)1cos x0,f(x)在(0,)上单调递增 又f(0)0,f(x)f(0)0,即xsin x0,xsin x.2如何证明函数不等式f(x)g(x)(xa)?提示:可构造函数h(x)f(x)g(x)(xa),只需证明h(x)0即可,故可求h(x)min0.【例3】求证:当x1时,ln x12x22x32.思路点拨 要证ln x12x22x32,只需证ln x12x22x320,可构造函数g(x)ln x12x22x32,利
7、用导数研究其单调性从而证明原不等式 证明 令g(x)ln x12x22x32,则g(x)1xx2x22x1xx12x,由于x1,所以g(x)0,即函数g(x)在(1,)上单调递增又因为g(1)ln 1121221320,因为当x1时g(x)0,即当x1时,ln x12x22x32.利用导数证明不等式的常见形式与步骤 1常见形式:已知 xa,b,求证:uxvx.2证明步骤:将所给的不等式移项,构造函数 fxuxvx,转化为证明函数 fx0;在 xa,b上,判断 fx的符号;若fx0,说明fx在区间a,b上是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入fx,检验其值为零或为正,即证得fa0即可;若fx0,说明fx在区间a,b上是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入fx,检验其值为零或为正,即证得fb0即可.跟进训练3求证:当0 xx.证明 令g(x)tan xx,则g(x)sin xcos xx cos2 xsin2 xcos2 x11cos2 x1sin2 xcos2 x,当0 x0,所以g(x)在0,2 上单调递增,故g(x)g(0)0,即tan xx.Thank you for watching!