1、玉龙县田家炳民族中学2020年春季学期期中考试高二数学试卷(理)一选择题1. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算，化简复数，再求其虚部即可.【详解】复数.故其虚部为：.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及实部和虚部的辨识，属综合简单题.2. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得，再求交集即可.【详解】因为，故可得.故.故选：.【点睛】本题考查集合交并补运算，属简单题.3. 已知向量，若与共线，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题先求，再建立方程
2、求出即可.【详解】解： ，与共线，解得：，故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算，利用向量共线求参数，是基础题.4. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.5. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则它的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、C【解析】【分析】根据图象变换求得的解析式，再求函数的对称中心即可.【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则.令，解得.当时，故的一个对称中心为.故选：.【点睛】本题考查三角函数图象变换，涉及正弦型三角函数对称中心的求解，属综合基础题.6. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A 10B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，第二次执行程序后，第三次执行程序后，第四次次执行程序后， 不成立，跳出循环，输出，故选A.7. 已知圆的一条斜率为1的切线，若与垂直的直线平分该圆，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据圆
4、的方程得圆心为，再根据直线与直线垂直，直线的斜率为1得直线的斜率，再由直线平分该圆得直线过圆心，最后根据点斜式方程求解即可.【详解】解：将圆的一般是方程化为标准方程得：，所以圆心为，半径为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为1，所以直线得斜率为，又因为直线平分该圆，所以直线过圆心.所以根据直线的点斜式方程得直线的方程为：，即：.故选：D.【点睛】本题考查直线垂直时的斜率关系，直线与圆的位置关系，是基础题.8. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，且，则下列选项正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与平面平行与垂直的相关性质依次判断各
5、个选项可得结果.【详解】对于，若，此时或，错误；对于，若，此时与可能平行、相交或异面，错误；对于，若，此时与平面可能平行或相交，错误；对于，若，则垂直于内任意直线，必垂直于的平行线，则，正确.故选：.【点睛】本题考查空间中线线关系、线面关系相关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关性质和定理掌握的熟练程度，属于基础题.9. 已知变量满足约束条件，设，则的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，根据的几何意义，即可求得结果.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：表示到可行域中点的距离的平方.故其最小值为原点到直线的距离的平方 .又，故.故选：
6、A【点睛】本题考查平方和型目标函数的最值求解，涉及点到直线的距离求解，属综合基础题.10. 双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意得，进而得，再根据渐近线方程公式得答案.【详解】解：根据题意得， ， 双曲线的焦点在轴上， 双曲线的渐近线方程为： 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，是基础题.11. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质
7、可知，不等式 ，或 者，的解集为，故选D.【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.12. 已知，设函数的零点为，的零点为，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由得，函数的零点为，即的图象相交于点；由得，函数的零点为，即的图象相交于点因为互为反函数，所以，即且，由基本不等式得，当且仅当时“=”成立，所以的最大值为.故选.考点：函数零点，反函数的图象和性质，基本不等式.二填空题13. 曲线与所围成的封闭图形的
8、面积为_.【答案】【解析】试题分析：由题意，知所围成的封闭图形的面积为.考点：定积分的几何意义.14. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据影响函数定义域的因素，分母不为零且被开放式非负，列不等式组，解此不等式组即可求得结果.【详解】要使函数有意义，须，解得且， 函数的定义域是.故答案为：.【点睛】本题考查求函数的定义域问题，注意影响函数定义域的因素，分母不为零，偶次方根的被开放式非负，对数的真数大于零等，转化为解不等式(组)，同时考查了运算能力，属基础题.15. 已知是等比数列，则 .【答案】1【解析】试题分析：设数列的首项为，公比为，则依题意，有，解得，所以.考点：等比数列的通项公
9、式.【一题多解】因为，所以，所以，解得.16. 若恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，得到恒成立，令，结合函数图像，以及直线与圆位置关系，即可求出结果.【详解】不等式恒成立，等价于恒成立，令，则表示斜率为，过点的直线； 表示以为圆心，以为半径的半圆；画出两函数图像如下：根据几何意义，要满足恒成立，必须使不大于过点且与半圆相切的直线斜率，设过点且与半圆相切的直线斜率为，则切线方程为：，所以圆心到切线的距离为，解得：，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数的问题，属于常考题型.三解答题17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的
10、终边过点P（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【答案】（）；（） 或 .【解析】【分析】分析：（）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（）由角的终边过点得，所以.（）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知
11、式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.18. 某已知等差数列 满足：,前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若,求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式得到方程组，求解即可；（2）可得，即，所以试题解析：（1）由已知条件,解得,.（2）由可得.考点：1.等差数列；2.观察法在数列中的应用19.已知函数求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间【答案】（I）函数的最小正周期是（II）函数的单调递增区间是（）【解析】解：（I）函数的最小正周期是；（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）20. 如图，四棱锥P-A
12、BCD中，底面ABCD平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.（1）证明：PABD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【详解】试题解析：（1）DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2故BDAD，即BD平面PAD，故PA BD（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系则A（1，0，0），B（0，0），C（-1，0），P（0，0，1）设平面PAB的法向量，则，解得平面PBC的法向量，则，解得考点：本题考查线线垂直 二面角点评：解决本题的关键是用向量法证明注意
13、计算准确性21. 已知函数，其中为正实数，是的一个极值点（1）求的值；（2）当时，求函数在上的最小值【答案】（1）；（2）当，；当，.【解析】【分析】（1）根据是极值点，即可由，求得参数值；（2）对进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求得函数最值.【详解】（1），故可得，又，故可得，解得.经检验成立（2）根据（1）中所求，当时，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增.故；当时，在区间恒成立，故在区间单调递增.故.综上所述：当，；当，.【点睛】本题考查利用导数根据极值点求参数，以及求函数的最值，属综合基础题.22. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求此椭圆的方程；（2）已知定点，直线与此椭圆交
14、于两点是否存在实数，使得以线段为直径的圆过点如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在满足题意，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过点，联立方程组，即可求得，则问题得解；（2）联立直线方程与椭圆方程，将问题转化为是否有根的问题，结合韦达定理即可容易求得.【详解】（1）根据题意，可得：，解得.故椭圆方程为：.（2）联立直线方程与椭圆方程，可得：，若直线与椭圆交于两点，则，；设两点坐标为，故可得，.又，若满足存在实数，使得以线段为直径的圆过点，故可得，则，满足.故当时，使得以线段为直径的圆过点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及利用韦达定理求满足题意的定直线，属综合中档题.
