1、2017年河北省献县第一中学高考数学复习平面向量（理科专用） 回顾 数的认识过程（一）小学数学中数的含义1. 整数；表示数量、多少。度量标准为单位1，一个整数表示的是度量标准的多少倍。三只羊，5个果子。以1为度量标准，。例如；3表示度量标准1的3倍。“0”表示没有。2.分数分数是除法的另一种写法。当分数的分子与分母单位相同时，分数的分子是被度量数，分母是度量标准，分数表示分子中有几个分母；如果分数的分子与分母单位不同，那么分数表示一份分母是多少分子（二）初中数学中数的含义1.初中的数有两种表示：（1）表示位置变化（状态）。相对概念（参照物不同）从一种状态到另一种状态是一个变化的过程，数也可以用
2、来表示这种变化，例如，温度上升了5C,表示为+5，长度减少了5cm,表示为-5cm.（2） 表示位置（状态）。 数表示位置，对应生活中是一种状态，状态一般有参照物（参考点），表达相反意义的有参考方向，即正负号。状态抽象成数学叫位置，用数轴表达。所以数可以表示位置。比如：+3表示相对于原点，方向在右距离为3，-2表示的位置是相对于原点，方向在左，距离为2.2.加法含义例如2+3 有两种解读：（1）2表示变化过程,向东走2米，3也表示变化过程，向东走3米，两次变化过程叠加，相当于一次变化,，向东走5米。（2）2表示位置，3表示变化过程，位置加变化过程等于新位置。所以加法的含义：变化过程+变化过程=
3、一次变化过程 位置+变化过程=新位置3. 减法表示相对性减法表示从一种状态到另一种状态的变化 3-5：表示相对于5，3的位置是方向向左，距离为2，左方向为相反方向，用“一”号表示，变化为-2，即3-5-2，从这个角度来说，减法表示位置的相对性。 a-b：减数b是参照物，b是怎么变到a的.即a相对于b的位置。减法表示相对性。 x-1:减数1是参照物，1是怎么变到x的，即x相对于1的位置。3.绝对值从位置的角度来说，对于一个数，如果不考虑方向，只要距离，这个距离就是这个数的绝对值。从变化的角度来说，不考虑方向，只考虑变化。这个变化的多少就是绝对值.例如。-2有两种解读：一是表示位置，一是表示变化。
4、表示位置即相对于原点方向向左，距离为2.：-2加上绝对值只要距离，只要多少，不要方向。为2.来源:学#科#网Z#X#X#K：表示x相对于1的距离为2 。可以向左也可以向右。所以x=-1或3.：表示x相对于1的距离大于等于2.不等式与等式的关系：方程的根即为不等式的临界点。解方程得x=-1或3.-1和3把数轴分成三个区域，再特值判断。可得4.相反数从位置的角度来说，相反数就是相对于原点，方向相反，距离相同的两个位置表示的数从变化的角度来看，如果经过两次变化过程后，结果没有发生变化，回到原状态.这两次变化所表示的数就是相反数。一、思想方法（一）平面向量的本质：向量就是终点相对于起点的位置变化。这里
5、包含两个要点： 1、变化的距离 2、变化的方向 （二） 平面向量可以用有向线段来表示，向量只与变化的方向和变化的距离有关 ， 只要终点相对起点的位置变化（方向，距离）相同就是相等向量。（三） 几个概念（关注距离和方向两个要素）1、向量的模 就是终点相对于起点变化的距离；2、零向量 （1）变化距离为0 （2）变化方向是任意的3、单位向量 （1）变化距离为1（2）变化变化方向不要求4、相等向量 （1）变化距离相等 （2）变化方向相同5、相反向量 （1）变化距离相等 （2）变化方向相反 6、平行（共线）向量 只要求变化的方向在一条直线上，对距离没要求。 特备注意：表示与同方向的单位向量。（四）向量问
6、题的处理1、向量的加法：两向量相加表示经过两次位置变化后，终点相对于最初起点的位置变化。(注意：与具体的起点和终点无关，作为向量可以平移温度上升了5C表示状态；在如温度从5C上升到10C也表示状态变化其实质也是温度上升了5C；另外还要注意在变化的过程中第二次变化的头是第一次变化的尾，例如从校门口向东先走10米，接着再走10米很显然第二次位置的变化是从第一次的结尾开始的。)aba+b+2、 向量的减法：减法表示相对性（减数指向被减数）例如 ：3-2即表示从2指向3；2-3表示从3指向2.对于向量ab：即从向量b的尾指向向量a的尾反应到的图像上表现为两向量起点重合，连接两向量的终点并指向被减向量的
7、向量ba-b3、数乘运算（类似于实数的乘法运算）a 数乘运算4、平面向量基本定理（二维问题化成一维问题来处理）O1 （1）、向量的加减法可以看作是向量合成，向量的分解可以看作是合成的 逆运算。ab+c， （2）、基底：先讲数轴（一维的），作好类比过渡如数轴上实数运算，实数2看成是终点相对于起点（原点）位置变化的距离是2，变化的方向是x轴的正半轴方向。数轴上每个数都可以用单位来表示，如418（8）1，这里的单位1就可以看作是基底，当然用2也可以去度量任何一个实数，如：422，6.83.42，这里的2就可以看作是基底，所以说基底就是一个度量衡。(3)基底二维转化 把平面内的任意一个向量的位置变化
8、化归到两个不同方向上的二次变化 每个方向上都是一维变化 每个方向上取不等于0的向量作为度量标准即为基底，这样就把二维转化为一维。 例如b、c是基本直线方向lcmba如图：来源:学科网ZXXK则ab+c，在l,m直线方向上分别取非零向量i，j，则cxi, b=yj ,于是：任一向量a都可以分解为非零向量i，j的线性表示，axi +yj（这里且是唯一的）。此时的非零向量i，j就可以看做是基底，是平面向量的度量衡。特别的当基底互相垂直时构建直角坐标，进行坐标运算。abOBAC5、向量的数量积（二维变一维：即从一个维度往另一个维度上做投影，同向取正反向取负，转变为数与数乘积）如图所示，两个非零向量a
9、、b ，OC即为向量b在a方向上的投影其数量积 abOCa=abcos 其实数量积看成两次运算，先算出b在a直线方向上的投影bcos，再进行一维的，数乘计算，abcos 当a、b 垂直时，投影是0，所以乘积为0。注意：向量的线性运算，结果是一个向量，而向量的数量积是一个数量，是一个实数，其大小与两个向量的长度及其夹角有关。三、解题方法及解题流程 1、读题即对应图形表达 向量表达； 2、运算求解能不能基底化、坐标运化。 解题分析一、选择题1.【2014新课标，理3】设向量a，b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解读题目：读题读对应。向量a
10、，b满足|a+b|=，|a-b|= 向量表达图形表达一般成立特殊成立来源:学科网 解题及流程 ：1、特殊化：画图 2、看图确定坐标运算 所以 另解解方程 （方程的流程：求值、求关系即方程，方程即等量关系。即以为未知数建立方程，平方展开 消元）。 ，两个式子相减得所以2.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）（A） (B) （C） (D) 解读题目：读题读对应。由（最好字母化即令） 数乘运算，一般成立特殊成立解题即流程：1、画图在直角三角形下处理坐标化 2、看图运算：令 所以 =另解基底化。解题：利用减法运算以为基底展开：整理的3.【2016高考新课标，理数3】已知向量 ，
11、，则（ ）(A) (B) (C) (D)解读题目：读题读对应。由已知想到单位圆 解题即流程：1、画图 2、看图说话：从图象可以看到另解解方程：利用点积公式 所以 二、填空题4. (2012年新课标卷)（13）已知向量夹角为 ，且；则读题读对应。读题及对应量由 夹角为 ，且（减法表示相对性根据题意满足条件的三角形是唯一确定的）画出图象看图说话 解题即流程：1、作图来源:Zxxk.Com 2、看图说话找关系利用余弦定理 从而可以算出答案另解1： 所以 即所以 另解2解方程（方程的流程：求值、求关系即方程，方程即等量关系。即以为未知数建立方程，平方展开 消元）5. (2013年新课标1卷) 13、已
12、知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc=0，则t=_.读题读对应:单位向量（画出单位圆） 一般成立特殊成立坐标化。解题即流程：1、画图 2、读图确定向量的坐标 3、解题 另解：解方程（方程的流程：求值、求关系即方程，方程即等量关系。即以t为未知数建立方程，利用点积展开 ） 6. (2013年新课标2卷)（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_.读题读对应：特殊图形画图采用坐标化（注意看到中点想中位线尤其是在三角形中）解题即流程：1、画图正方形ABCD 2、读图确定相应点的坐标 3、解题运算 坐标法以AB,CD所在直线为x轴和y轴点A为坐标原点建立坐标系
13、， 则另解：以为基底利用数量积的运算性质展开： 7.【2014课标，理15】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_读题读对应:为圆上的三点，看到圆想两点一是对称（直径是对称轴，圆心是对称中心）二是垂直 1、直径所对的圆周角是直角 2、过切点的直径垂直于切钱 3、垂径定理解题及流程： 1、作图 2、读图找关系 若即 画出图形可以发现三角形为直角三角形所以与的夹角为8.【2015高考新课标，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_解读题目：读题读对应 向量，不平行（ 1、 为非零向量 2、一般成立特殊成立 ）解题即流程：1、画图 2、读图找关系确定坐标 3、解题 另解：利用待定系数法得参数的关系
14、：令， 则所以9.【2016高考新课标卷，理数13】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .读题读对应：读题看到|a+b|2=|a|2+|b|2 向量表达图形表达， 转化为数量积运算(二维化一维) 解题及流程： 1、画图 2、读图找关系 3、解题解方程来源:学科网ZXXK（方程的流程：求值、求关系即方程，方程即等量关系。即以m为未知数建立方程，平方展开 代入求值） 由，所以三个向量组成直角三角形所以，即， 10.【2016高考新课标卷，理数3】已知向量，且，则m=（A）（B）（C）6（D）8解读题目：读题读对应 坐标运算， 数量积二维化一维。解题即流程 1、确定坐标化 2、解题（方程的流程：求值、求关系即方程，方程即等量关系。即以m为未知数建立方程，利用点积展开 代入求值）由，再有，所以，解得
