1、第四节 数系的扩充与复数的引入【知识梳理】1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 设a,b都是实数,形如_的数叫复数,其中实部为_,虚部为_,i叫做虚数单位 a+bi为实数_,a+bi为虚数_,a+bi为纯虚数_ _ 复数 相等 a+bi=c+di_ _(a,b,c,dR)a+bi a b b=0 b0 a=0 且b0 a=c且 b=d 内容 意义 备注 共轭 复数 a+bi与c+di共轭_ _(a,b,c,dR)复数a(a为实数)的共轭复数是a 复平面 建立平面直角坐标系 来表示复数的平面,叫 做复平面,x轴叫做_ _,y轴叫做_ 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表
2、示纯虚数 复数 的模 向量 的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|z|=|a+bi|=a=c且b=-d 实 轴 虚轴 OZ22ab2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a,bR)复平面内的点Z(a,b)向 量 .OZ3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 运算名称 符号表示 语言叙述 加减法 z1z2=(a+bi)(c+di)=_ 把实部、虚部分别相加减(ac)+(bd)i 运算名称 符号表示 语言叙述 乘 法 z1z2=(a+bi)(c+di)=_ 按照多项式乘法进行,并把i2换成-1 除 法 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,
3、然后分子、分母分别进行乘法运算(ac-bd)+(ad+bc)i 12zabi(abi)(cdi)zcdi(cdi)(cdi)_(cdi0)2222acbdbcad icdcd(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3C,则复数加法满足以下运算律:交换律:z1+z2=_;结合律:(z1+z2)+z3=_.z2+z1 z1+(z2+z3)【特别提醒】1.i的乘方具有周期性 in=(kZ).1n4kin4k11n4k2in4k3.，2.复数的模与共轭复数的关系 z =|z|2=|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小.(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,dR的前提条件
4、.zz【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修1-2P61习题3.2A组T5(3)改编)复数 的共 轭复数是()A.2-i B.2+i C.3-4i D.3+4i【解析】选C.原式=2=(2+i)2=3+4i.所以其共轭复数为3-4i.25()2i5(2i)(2i)(2i)2.(选修1-2P63A组T1(3)改编)若复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围为()A.m1 B.m C.m1 D.m1 232323【解析】选D.m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i 由题意,得 解得 m1.3m20,m 10,23感悟考题 试一试 3.(2015
5、广东高考)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.-2 B.2 C.-2i D.2i【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.4.(2015全国卷)若a为实数,且 =3+i,则a=()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】选D.由题意可得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4ia=4.2ai1 i5.(2015北京高考)复数i(1+i)的实部为 .【解析】i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.答案:-1 考向一 复数的有关概念【典例1】(1)(2015湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.i B.-i C.1 D.-1(真题溯源:本题源自A版选修
6、1-2P63B组T2)(2)(2015天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .【解题导引】(1)根据in(nN*)的周期性化简i607,再求其共轭复数.(2)先根据复数的乘法法则化简,再由纯虚数的定义列方程求实数a.【规范解答】(1)选A.因为i607=(i2)303i=-i,-i的共轭复数为i,所以应选A.(2)复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a0,所以a=-2.答案:-2【母题变式】1.若本例题(2)条件“纯虚数”变为“实数”,试求实数a的值.【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+
7、(1-2a)i是实数,所以1-2a=0,即a=.122.若本例题(2)条件“复数(1-2i)(a+i)是纯虚数”变为“复数(1-2i)(a+i)的模是5”,试求实数a的值.【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,所以|(1-2i)(a+i)|=5,即a2=4,a=2.222(a2)(1 2a)5a5【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.【变式训练】(2015重庆高考)设复数a+bi(a,
8、bR)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=.【解析】因为复数a+bi(a,bR)的模为 ,即 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:3 3322ab3,【加固训练】1.(2014全国卷)设z=,则|z|=()【解析】选B.1i1 i 123A.B.C.D.22222211 i11112ziii,z()().1 i222222 2.(2014山东高考)已知a,bR,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i【解析】选A.因为a+i=2-bi,所以a=2,b=-1,所以(a+bi)2=(2-i)2=
9、4-4i+i2=3-4i.3.(2014大纲版全国卷)设z=,则z的共轭复数为()A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i【解析】选D.则 =1-3i.10i3i2210i 3i10i30i 10i30i10z3i13i3i(3i)9i10，z4.设mR,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数m=-2.答案:-2 22mm20m10，考向二 复数的几何意义【典例2】(1)(2015安徽高考)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2i1 i
10、(2)(2014全国卷)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i【解题导引】(1)先将所给复数化简为a+bi的形式,再求解.(2)转化点的对称问题即可.【规范解答】(1)选B.其对应点的坐标为(-1,1),此点在第二象限.(2)选A.因为z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5.2i 1 i2i22i1 i,1 i1 i 1 i2 【规律方法】复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系,即 z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)由于复数、点、
11、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.OZOZ【变式训练】(2016石家庄模拟)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.A B.B C.C D.D【解析】选B.设点A表示复数z=a+bi,其中a0,所以其共轭复数是 =a-bi,在图中应该是点B对应的复数,故选B.z【加固训练】1.(2016太原模拟)复数z=(i为虚数单位),z在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2i(2i)【解析】选A.因为 所以z在复平面内所对应的点 在第一象限.2i
12、 34iiiiz44i 134i252i 43 i,252543(,)25 252.(2016济南模拟)在复平面内,复数 对应的点到直线y=x+1的距离是()21 i2A.2 2B.2C.2D.2【解析】选D.复数 对应复平面 内的点(1,1),它到直线y=x+1的距离是 22(1 i)1 i,1 i(1 i)(1 i)12.2221 i3.复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为z=i(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的点在第二象限,所以选B.考向三 复数的四则运算【考情快递】命题方向命题视角
13、复数的加、减、乘法运算主要考查复数的加、减、乘法运算法则,属容易题复数的除法运算 主要考查复数的除法运算,常综合考查复数的乘法公式,属容易题解简单的复数方程以复数方程为载体,综合考查复数的加、减、乘、除运算【考题例析】命题方向1:复数的加、减、乘法运算【典例3】(2015北京高考)复数i(2-i)=()A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i(真题溯源:本题源自A版选修1-2P61习题3.2A组T4(1)【解题导引】根据复数乘法法则计算,注意i2=-1.【规范解答】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i.命题方向2:复数的除法运算【典例4】(2014全国卷)=()A.1+i
14、 B.1-i C.-1+i D.-1-i 32(1 i)(1 i)【解题导引】根据幂的运算法则把(1+i)3降幂运算.【规范解答】选D.32(1 i)2i(1 i)1 i.(1 i)2i 【一题多解】解答本题,还有以下解法:选D.32321 i1 3i3ii22i1 i111 i.2i2iii1 i 命题方向3:解简单的复数方程【典例5】(2015全国卷)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i(真题溯源:本题源自A版选修1-2P63B组T1)【解题导引】化简变形,转化为复数的除法运算.【规范解答】选C.因为(z-1)i=1+i,所以z=
15、2-i.212i(12i)iii【一题多解】解答本题,还有以下解法:选C.因为(z-1)i=1+i,所以z-1=所以z=2-i.1 i111 i,ii 【技法感悟】利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算.(2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.(3)解简单的复数方程:利用复数的四则运算求解即可.【题组通关】1.(2015四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-=()A.-i B.-3i C.i D.3i【解析】选C.2i3222iiii2ii.i
16、i 2.(2015湖南高考)已知 =1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】选D.验证各选项,只有z=-1-i时,2(1 i)z2i(1 i)1 i2 2(1 i)1 i 3.(2015山东高考)若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i【解析】选A.由 =i,得 =i(1-i)=1+i,z=1-i.z1 iz1 iz【加固训练】1.(2014福建高考)复数(3+2i)i等于()A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i【解析】选B.由复数的乘法运算得(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.2.(2014天津高考)i是虚数单位,复数 =()A.1-i B.-1+i C.D.【解析】选A.7i34i1731i25251725i777i(7i)(34i)2525i1 i.34i(34i)(34i)25
