1、第七节 函数的图象 【知识梳理】1.利用描点法作函数图象的基本步骤及流程(1)基本步骤:列表、_、连线.描点(2)流程:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.平移变换 右移 左移 上移 下移 f(x)+b 3.伸缩变换 伸长 缩短 11f(x)伸长 缩短 A A 4.对称变换 y=f(x)y=_;y=f(x)y=_;y=f(x)y=_.-f(x)f(-x)-f(-x)5.翻折变换 y=f(x)y=_;y=f(x)y=_.f(|x|)|f(x)|【特别提醒】1.函数
2、对称的重要结论(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.2.函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P112A组T4改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()【解析】选C.距
3、学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故第一段是直线段,途中停留时距离不变,最后一段加速,最后的直线段比第一段下降得快,故应选C.2.(必修1P113B组T2改编)如图,在不规则图形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线lAB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公 共点)时,把四边形ABCD分成 两部分,设AE=x,左侧部分面 积为y,则y关于x的大致图象为()【解析】选D.因为左侧部分面积为y,随x的变化而变化,最初面积增加得快,后来均匀增加,最后缓慢增加,只有D选项适合.感悟考题 试一试 3.(2016青岛模拟)已知函数 则f(x)的图象为()31 ln x,x1,f
4、xx,x1,【解析】选A.由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x=1时,f(x)=1,当x=0时,f(x)=0,故选A.4.(2016青岛模拟)为了得到函数y=log2 的图象,可将函数y=log2x的图象上所有的点()A.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度 x11212C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度【解析】选A.y=log2 =log2(x-1),所以可将y=log2x的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的 倍,
5、横坐标不变,得到y=log2x的图象,再向右平移1个单位长度,得到y=log2(x-1)的图象.x1121212125.(2016烟台模拟)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1【解析】选D.与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的函数为y=e-x,将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,所以y=f(x)=e-(x+1)=e-x-1.考向一 作函数的图象【典例1】作出下列函数的图象:(1)y=|x-2|(x+1).(2)y=(3)y=|log2(x+1)|.x
6、2.x1【解题导引】(1)先对绝对值分类讨论,将原函数化简成分段函数的形式,再分段作图即可.(2)先化简解析式,分离常数,再利用图象变换画出图象.(3)将y=log2x的图象向左平移1个单位y=log2(x+1)的图象将y=log2(x+1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折y=|log2(x+1)|的图象.【规范解答】(1)先化简,再作图.图象如图实线所示.22xx2x2yxx2x2，(2)因为y=先作出y=的图象,将其图象 向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=的图象,如图所示.x231x1x1 ，3xx2x1(3)利用函数y=log2x的图象进行平移和翻折变换,图象如图实线所示.【
7、规律方法】函数图象的画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.易错提醒:(1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【变式训练】作出下列函数的图象.(1)y=2x+2.(2)y=elnx.(3)y=log2|x-1|
8、.【解析】(1)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图所示.(2)因为函数的定义域为x|x0且y=elnx=x(x0),所以其图象如图所示.(3)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y=log2|x-1|的图象.【加固训练】1.作出下列函数的图象.(1)y=a|x|(0a1).(2)y=(3)y=sin|x|.2x1.x1【解析】(1)因为y=所以只需作出0a1时函数y=ax(x0)和y=(x0)的图象,合起来即得函数y=a|x|(0a1)的图象.如图所 示.xxa,x0,0a11(),x0a，x1()a(2)因为y=故函数图象可由y=的图象 向右平移1个单位
9、,再向上平移2个单位而得,如图所示.2x112x1x1 ，1x(3)当x0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,其图象关于y轴对称,其图象如图所示.2.作出函数y=的图象.【解析】分段分别画出一次函数(x1),二次函数(13)的图象,如图所示.2x 32x3x1,x4x2 1x3,2x3，考向二 函数图象的识别【考情快递】命题方向命题视角已知解析式确定函数的图象根据函数的奇偶性、单调性及特殊点确定函数的图象,考查识图能力,属中档题借助实际情景探究函数图象以生活实际或相关问题为背景,确定函数的图象,考查探究能力,属较难题【考题例析】命题方向1:已知解析式确
10、定函数的图象【典例2】(2016唐山模拟)函数f(x)=ln(x-)的图象是()1x【解题导引】求出函数的定义域,通过函数的定义域,判断函数的单调性,推出选项即可.【规范解答】选B.因为x-0,解得x1或-1x0,排除选项D.21 xe 2.(2016莱芜模拟)函数y=的图象大致是()3xx31【解析】选C.由3x-10得x0,所以函数y=的定 义域为x|x0,可排除选项A;当x=-1时,y=0,可排除选项B;当x=2时,y=1,当x=4时,y=,但从选 项D的函数图象可以看出函数在(0,+)上单调递增,两 者矛盾,可排除选项D.3xx313111332453.(2016菏泽模拟)在同一个坐标
11、系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a0且a1,则下列所给图象中可能正确的是()【解析】选D.正弦函数的周期公式T=,所以y=sinax的最小正周期T=;对于A:T2,故a1,所以函数y=ax是减函数,故错;对于B:T1,所以函数y=ax是增函数,故错;对于C:T=2,故a=1,故错;对于D:T2,故a1,所以y=ax是减函数,正确.2|2a4.(2016聊城模拟)如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦AP的长为x,APO的面积为y,则下列选项中,能表示y与x的函数关系的大致图象是 ()【解析】选A.如图,因为根据三角形 面积公式,当一边OA固定时,它
12、边上 的高最大时,三角形面积最大,所以 当POAO,即PO为APO中OA边上的高时,APO的面积 y最大,此时,由AB=2,根据勾股定理,得弦AP=x=,2所以当x=时,APO的面积y最大,最大面积为y=,从而可排除B,D选项.又因为当AP=x=1时,APO为等边 三角形,它的面积y=所以此时,点 应在 y=的一半的上方,从而可排除C选项.2123144，3(1)4，12【加固训练】(2016遵义模拟)已知定义在区间0,2上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()【解析】选B.方法一:由y=f(x)的图象知,x 0 x1,f x1 1x2.，当x0,2时,2-x0,2
13、,1 0 x1,f 2x2x 1x2,，所以，1 0 x1,yf 2xB.x2 1x2.，故 图象应为，方法二:当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.考向三 函数图象的应用【典例4】(1)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 ()A.(0,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,+)1212(2)(2015江苏高考)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实数根的个数为 .20,0 x1x42,x1，【解题导引
14、】(1)画出函数f(x)的图象,结合函数图象确定实数k的取值范围.(2)将|f(x)+g(x)|=1变为f(x)=1-g(x),交点的个数即为y=f(x)与y=-1-g(x)和y=1-g(x)图象的公共点的个数之和,结合图象进行判断.【规范解答】(1)选B.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个 不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的 交点,由图可知,k1.x1,x2,3x,x2.1212 2222220,0 x1,2g x2x,1x2,x6,x21,0 x1,1g xx1,1x2,7x,x21,0 x1,1g
15、xx3,1x2,5x,x2.因为，所以，又因为|f(x)+g(x)|=1实数根的个数即为y=f(x)与y=1-g(x)的图象交点的个数和y=f(x)与y=-1-g(x)的图象交点的个数之和,而y=f(x)与y=1-g(x)的图象有两个交点,y=f(x)与y=-1-g(x)的图象也有两个交点,所以|f(x)+g(x)|=1实数根的个数为4.答案:4【一题多解】解答本题还有以下解法:当0 x1时,f(x)=|lnx|=-lnx,g(x)=0,原方程即为-lnx=1,解得x=,所以当0 x1时原方程有一个实数根.当1x2时,f(x)=lnx,g(x)=2-x2,原方程即为|lnx+2-x2|=1.设
16、F(x)=lnx+2-x2(1x2),1e因为F(x)=-2x0,所以F(x)在(1,2上单调递减,得F(x)的值域为ln2-2,1).又ln2-2-1,得方程|lnx+2-x2|=1有且只有一个实数根,所以当12时,f(x)=lnx,g(x)=x2-6,原方程即为|lnx-6+x2|=1,则lnx-6+x2=1或lnx-6+x2=-1,即得方程lnx+x2=7或lnx+x2=5.因为函数G(x)=lnx+x2在(2,+)上单调递增,所以G(x)的值域为(4+ln2,+),因此方程lnx+x2=7或 lnx+x2=5各有一个实数根.所以当x2时原方程有两个实数根.综上,方程|f(x)+g(x)
17、|=1的实数根个数为4.答案:4【易错警示】解决本例(2)易出现以下错误(1)对方程|f(x)+g(x)|=1有实数根的意义不明确.(2)画函数图象时,忽略了函数的定义域.【母题变式】1.本例(1)中“有两个不相等的实根”改为“有一个实根”,其他条件不变,求实数k的取值范围.【解析】由题意得f(x)=其图象如图所示.由图象可知,要使方程f(x)=g(x)有一个实根,则k1 时,y=x+1,当-1x1时,y=-x-1,当x-1时,y=x+1,图象 如图所示,2x1x1由图象可知当0k2且k1时两函数恰有两个交点,所以实数k的取值范围为(0,1)(1,2).【规律方法】1.利用函数的图象研究方程根
18、的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.2.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.【变式训练】1.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图
19、).由图可得两个函数的图象有2个交点.2.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 .【解析】y=作出图象,如图所示.22xxa,x0,xxa,x0，此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,要使y=1与其有四个交点,只需a-1a,所以1a10时,|lgx|1.因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xR,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为()121 166A.,B.,6 6661 133C.,D.,3 333【解析】选B
20、.当x0时,f(x)=因为f(x)是定义在R上的奇函数,故可作出函数f(x)的图象,如图所示.222222x,xaa,ax2ax3a,x2a，那么对xR,f(x-1)f(x),则要向右移动函数f(x)的图象,即让点A1移到图中A2位置时,满足题意,又 A1(-3a2,0),A2(-3a2+1,0),可知3a2-3a2+1,即6a21,解得a 66,.663.(2016南昌模拟)已知函数f(x)=若关 于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范 围是_.32x2,xx1,x2.，【解析】画出分段函数f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若f(x)=k有两 个不同的实根,即函数y=f(x)的图 象与y=k有两个不同的交点,k的取 值范围为(0,1).答案:(0,1)
