1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足x2,则点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析(2x,y),(3x,y),(2x)(3x)y2x2,y2x6.答案D2.在ABC中,()|2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析由()|2,得()0,即()0,20,A90.又根据已知条件不能得到|,故ABC一定是直角三角形.答案C3.(2016深圳调研)在ABC中,ABAC2,BC2,则()A.2 B.2C.2 D.2解析由余弦定理得cos A,所以|cos A22
2、2,故选D.答案D4.已知|a|2|b|,|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根,则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析由已知可得|a|24ab0,即4|b|242|b|2cos 0,cos ,又0,.答案D5.(2015杭州质量检测)设O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若,则BAC的度数等于()A.30 B.45C.60 D.90解析取BC的中点D,连接AD,则2 .由题意得32,AD为BC的中线且O为重心.又O为外心,ABC为正三角形,BAC60,故选C.答案C二、填空题6.(2016广州综合测试)在ABC中,若2,则边AB的长等于_.解析由题意知4,即()
3、4,即4,|2.答案27.(2016天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则的最大值为_.解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(1,1),M,设E(x,0),x0,1,则(1x,1)(1x)2,x0,1时,(1x)2单调递减,当x0时,取得最大值.答案8.(2016太原模拟)已知向量a(cos ,sin ),向量b(,1),则|2ab|的最大值与最小值的和为_.解析由题意可得abcos sin 2cos,则|2ab|0,4,所以|2ab|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9.已知a(cos
4、 ,sin ),b(cos ,sin ),0.(1)若|ab|,求证:ab;(2)设c(0,1),若abc,求,的值.(1)证明由题意得|ab|22,即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21,所以22ab2,即ab0,故ab.(2)解因为ab(cos cos ,sin sin )(0,1),所以由此得,cos cos().由0,得0,又0,故.代入sin sin 1,得sin sin .又,所以,.10.(2015襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(1,0),|1,且AOCx,其中O为坐标原点.(1)若x,设点D为线段OA上的动点,求|的最小
5、值;(2)若x,向量m,n(1cos x,sin x2cos x),求mn的最小值及对应的x值.解(1)设D(t,0)(0t1),由题意知C,所以,所以|2tt2t2t1(0t1),所以当t时,|最小,为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m(cos x1,sin x),则mn1cos2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin,因为x,所以2x,所以当2x,即x时,sin取得最大值1.所以mn的最小值为1,此时x.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.(2015衡水中学一调)已知|a|2|b|0,且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值,则
6、向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx.f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值,方程x2|a|xab0有两个不同的实数根,即|a|24ab0,ab,又|a|2|b|0,cos ,即cos ,又0,故选C.答案C12.(2015郑州质检)在RtABC中,CACB3,M、N是斜边AB上的两个动点,且MN,则的取值范围为()A. B.2,4C.3,6 D.4,6解析设MN的中点为E,则有2,222,又|的最小值等于点C到AB的距离,即,故的最小值为4.当点M与点A(或B)重合时,|达到最大,易知|的最大值为,故的最大值为6,因此
7、的取值范围是4,6.答案D13.在ABC中,A90,AB1,AC2,设点P,Q满足,(1),R.若2,则_.解析(1),2(1)2,化简得(1)(1)222,又因为0,24,21,所以(1)412,解得.答案14.(2016江西五校联考)已知向量m,n.(1)若mn1,求cos的值;(2)记f(x)mn,在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2ac)cos Bbcos C,求函数f(A)的取值范围.解mnsin cos cos2sin cos sin.(1)mn1,sin,cos12sin2,coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C,由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C,2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C,2sin Acos Bsin(BC).ABC,sin(BC)sin A,且sin A0,cos B,B.0A.,sin1.又f(x)mnsin,f(A)sin,故1f(A).故函数f(A)的取值范围是.