1、期末冲刺讲义（三）三角形有关计算和证明【知 1】角平分线上的点到两边距离相等，这可以成为全等中一个“S”的来源，务必注意全等一定是有至少 一组边相等的关系;此外，角平分线分对边之比为邻边之比，是角平分线的另一个重要性质，这一性质定理 的逆定理同样成立.【例 1】如图， AB = AC ， ADB = 90 - BDC ，求证： B = C ABDC延长 CD 至 E，则 AD 平分BDE，过 A 向两边作垂线，HL 全等【例 2】如图，ABC 中, AB = AC, D 为ABC 外一点，且ABD =ACD = 60求证： CD = AB - BD.延 长 CD 至 G 使 BD=DG ， 过
2、 A 向 BDE 两 边 作 垂 线 AE 、 AF ，ABEACF（AAS），则 AD 平分BDE，则ABDAGD（AAS），则正ACG，则证得.【例 3】证明边长为 12、9、7 的三角形中，有一个角是另一个角的两倍.作 7 这一边的角平分线，分成 4 和 3，对称得等腰.【知 2】满足（SSA）的两个三角形若不全等，则两个三角形有一组互补的角；因此可知若满足（SSA） 的为两锐角三角形或两钝角三角形，则全等.【例 4】在A 的角平分线上取一点 D，角的两边上分别取 B、C，当 AB + AC = AD 时，一定有 DB = DC ,求A.取 AC = 0，知一等腰三角形底边为腰的根号 3
3、 倍，那么其底角为 30.故角 A 只能为 60 然后证明A = 60时一定成立.【知 3】轴对称的图形必全等，中心对称的图形同样全等.【例 5】已知周长一定的三角形中，正三角形的面积最大；那么一个边长为 1 的正三角形绕中心旋转后，与原来的重叠部分的面积最小值为？边上的六个小三角形每个周长为定值，借助引理，知面积最小值为【知 4】ABC 的中线长 AD =【例 6】ABC 的 BC 边上的三等分点为 D、E，设 BC = a, AC = b, AB = c, 求 AD 2 + AE 2 .中线 AF 2 =【例 7】在ABC 内有一点 P 使得 PA2 + PB 2 + PC 2 最小，求证
4、此时 PA2 + PB 2 + PC 2 (AB 2 + BC 2 + CA2 ).取 P 为重心，代入计算；事实上重心时取最小值，可选讲【知 5】利用截长补短的方法构造全等，是由结论引发的常见辅助线思路，具体截长还是补短，怎样截补， 需看怎样作能够简化条件.【例 8】在正方形 ABCD 中，M、N 分别在 CD、AD 所在直线上，且 BNBM，NE 平分DNM 交 BD 于E，EFMN 于 F，求证： AD - EF =. 作 EHAD 于 H，只需证 2AH=MN又易知 BE = BN = AH = MN . 证得.【知 6】下例是两个常用的形状，可采用反证法证明.构造这两个形状的辅助线也
5、颇有效.【例 9】等腰ABC 顶角BAC 为 2a, 有一点 D 使 A 在DBC 内，且 BDC = a, 另有一点 E 与 A 在 BC异侧，且 BEC = 180 - a, 求证： AB = AC = AD = AE.反证：若 ADAB 同理.类似有 AE.其中 AD 有两种情况.注：还有同侧 D 在ABC 外的一种情况，需用同一法，可选讲.【知 7】平移变换，保持角度不变，长度不变；用以将已知元素集中，使各元素之间的关系明朗化。【例 10】 如图，在等腰三角形中，延长边 AB 到点 D，延长边 CA 到点 E，连接 DE，恰有 ADBCCEDE求证：BAC100平移 BC 至 DF,A
6、DECEF.【例 11】 在 RtABC 中，C=90，D，E 分别为 CB，CA 延长线上的点，BE 与 AD 的交点为 P若 AC =BD ，CD = AE ，求APE 的度数平移 CD 至 AF，AC 至 DF，150【知 8】在同一顶点上一个角内有一个半角，或可通过旋转证明全等或得到结论；在同一顶点上有两个等 角，这本身就是一个旋转的模型.此外，等腰三角形的两腰，等边三角形均可成为旋转的始边和终边.【例 12】 在ABC 形外做等腰 RtABD 和等腰 RtACE，使 BAD = CAE = 90 ，作 AH BC 于 H， 延长 HA 交 DE 于 M.求证：DM=ME.旋转ABC
7、至DAF，E、A、F 共线，只需证 AMDF，易得.【知 9】对称变换保持距离、角度、面积等不变，同时对称点连线被对称轴垂直平分.利用反射的不变性， 也可以集中已知元素或构造特殊三角形.【例 13】单位正方形内有一条不自交的曲线将正方形分成面积相同的两部分，若曲线的起点和终点都在正 方形的边界上，求证曲线的长度不小于 1. 分在对边：显然；在邻边：必与对角线有交点，关于对角线作一次对称对称到对边上；在同一边，必与平 行此边的中位线有交点，作一次对称对称到对边上.【例 14】在ABC 中，ABC =50，ACB= 30，R 为形内一点，RAC =RCB =20，求RBC. 作ADC 与ARC 关
8、于 AC 对称，再作EDC 与ADC 关于 DC 对称，有正ADE，B、A、E 共线，ER 为等腰三角形 EBC 的角平分线，因此RBC=RCB=20.【知 10】几何作图相关： 需熟悉的几种作图：垂直平分线、角平分线、垂线、轴对称、平行线，正三角形，15角的整数倍;引申而来的作图包括平行四边形、中位线、内心、外心、垂心等. 在尺规作图中，一 要必须准确，二要追求简洁. 对于必要的一些截取线段的作图，需辅以文字说明.【例 15】在一个角内有一个定点，过该定点作一条端点在角两边的线段，使得其恰好为中点.当然，步数越少越好.【例 16】在一个角内有一个定点，过该定点作一条端点在角两边的线段，使得其
9、恰好为等腰三角形.当然，步数越少越好.注：一般作法，角平分线，然后作垂线【习 1】 ABC 中，BAC = 120，AD、BE、CF 为三条角平分线，求证：EDFD.只需证 ED 平分CDA.【习 2】 求边长为 4、5、6 的三角形中 6 这一边上的角平分线长. 【习 3】 如图，ABC 中CAB = 70 ，I 是ABC 内心，若 CA + AI = BC ，求ABC 的度数.【习 4】ABC 中，CAB = 60 ，D、E 分别在边 AB、AC 上，且AED = 60 ， ED + DB = CE ，CDB = 2CDE .求DCB .【习 5】如图所示，在等腰ABC 中，AB = BC
10、. BEAC 于 E，有一点 D 使得 AD = AC，DBE = 60，D = 70，求证：AB = BD.【习 6】在正三角形 ABC 的两边 AB、AC 上分别取点 D、E 使得 AD = CE，恰有 BE = 1,则ADE 的中线AF 长度为？【习 7】如图，PQ 是边长为 1 的正方形 ABCD 内两点，使得PAQ = PCQ = 45 ，求 SDPAB + SDPCQ + SDQAD的值.【习 8】在ABC 的两边向外作正ABD 和正ACE，G、H 分别是 AD、CE 的中点，F 在线段 BC 上，BF = 3CF，试探究FGH 的形状.【习 9】如图，在ABC 中，ACB=2ABC，P 为三角形内一点，AP=AC，PB=PC，求证：BAC=3BAP【习 10】任给三条平行线，请画一个正三角形，使得三个顶点分别在三条平行线上.（提示：借助旋转）【习 11】作图研究：对ABC，ADBC 于 D，E 是 AB 的中点，H 是ABC 的垂心，F 是 CH 的中点.过 D、E、F 作圆，说明你的发现.【习 12】给出了三条相交且不互相垂直的直线，请作出所有的直线，使得整个图形成为轴对称图形.
