1、1已知抛物线C1：y22px(p0)与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1相交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.(1)求抛物线C1的方程；(2)证明：MQ恒过定点2(2020重庆一中模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上滑动，若MF1F2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得MF1F2为直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设，求证：为定值，并求该定值3.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛
2、物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN的斜率之比为定值4(2019河南中原名校联考)已知F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且(4,0)(1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且|x2x1|3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问ABN的面积是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案精析1(1)解由题意可知，抛物线的
3、焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，所以p2，所以抛物线C1的方程为y24x.(2)证明方法一因为点P与点M关于x轴对称，所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，直线PQ的方程为yk(x2)代入y24x得k2x24(k21)x4k20，所以x1x24.设直线MQ的方程为ymxn，代入y24x得m2x2(2mn4)xn20，所以x1x24，因为x10，x20，所以2，即n2m，所以直线MQ的方程为ym(x2)，所以直线MQ过定点(2,0)方法二设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因为点P与点M关于x轴对称，所以y3y1.由题意可知直线PQ的斜率不为0，故
4、可设直线PQ的方程为xty2，代入y24x得y24ty80，所以y1y28，设直线MQ的方程为xmyn，代入y24x得y24my4n0，所以y2y34n.因为y3y1，所以y2(y1)y1y24n8，即n2.所以直线MQ的方程为xmy2，必过定点(2,0)2解(1)由对称性知，点M在短轴端点时，MF1F2为直角三角形且F1MF290，4，bc且S2cbbc4，解得bc2，a2b2c28，椭圆C的方程为1.(2)显然直线l的斜率不为0，设直线l：xt(y1)，联立消去x得(t22)y22t2yt280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，令y0，则xt，Q(t,0)，y1
5、(y11)，.，y2(y21)，.3(1)解设直线AM的方程为xmyp，代入y22px，得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知，y3y42p2，同理可得，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2.故直线AB与直线MN的斜率之比为定值4解(1)设M(x0，y0)，由题意知F，所以(4,0)，所以则将其代入x22py(p0)中，得16p2，解得p4或p4(舍)，所以抛物线C的方程为x28y.(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxb，联立整理x28kx8b0，
6、则x1x28k，x1x28b，所以y1y2k(x1x2)2b8k22b，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2b)由条件设切线的方程为ykxt(tb)，联立整理得x28kx8t0.因为直线l与抛物线C相切，所以64k232t0，所以t2k2.则x28kx16k20，解得x4k，所以y2k2.所以切点N的坐标为(4k,2k2)，又点Q的坐标为(4k,4k2b)，所以NQx轴，所以|NQ|4k2b2k22k2b，因为|x1x2|3，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x264k232b，所以2k2b，所以SABN|NQ|x1x2|(2k2b)|x1x2|.所以ABN的面积为定值，且定值为.
