1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若幂函数f(x)的图象经过点14,4,则f(-2)=()A.12B.2C.-12D.-2解析:设f(x)=x(R),则有14=4,解得=-1,即f(x)=1x,于是f(-2)=-12.答案:C2.已知t表示不超过t的最大整数,例如1.05=1,3=3,-2.5=-3等,则函数f(x)=1-x的定义域为()A.(-,1B.0,1C.(-,2D.(-,2)解析:依题意应有1-x0,所以x1,因此x2,即定义域为(-,2).答案:D3.若函数f(2x
2、+1)=x2-2x,则f(3)等于()A.0B.1C.2D.3解析:因为f(2x+1)=x2-2x,所以f(22+1)=22-22,即f(3)=0.答案:A4.函数f(x)=1x-2x在区间-2,-12上的最小值为()A.1B.72C.-72D.-1解析:因为f(x)在区间-2,-12上单调递减,所以f(x)min=f-12=1-12-2-12=-1.答案:D5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x2C.y=1xD.y=x|x|解析:y=x+1和y=-x2不是奇函数,y=1x是奇函数但不是增函数,只有y=x|x|是奇函数且在R上是增函数.答案:D6.已知函数f(x
3、)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)内是()A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定解析:因为f(x)为偶函数,所以m=0,故f(x)=-x2+3,其图象开口向下,对称轴为y轴,于是f(x)在区间(2,5)内是减函数.答案:B7.函数f(x)=|x-2|(x-4)的单调递减区间是()A.2,+)B.3,+)C.2,4D.2,3解析:由于f(x)=|x-2|(x-4)=x2-6x+8,x2,-x2+6x-8,x2,在坐标系中画出函数f(x)的图象(如图),则可得函数f(x)的单调递减区间是2,3.答案:D8.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x
4、)+g(x)+2在区间(0,+)内有最大值8,则在区间(-,0)内F(x)有()A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4解析:设x(-,0),则-x(0,+),F(-x)=f(-x)+g(-x)+28,且存在x0(0,+)使F(x0)=8.因为f(x),g(x)都是奇函数,所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)6,f(x)+g(x)-6,则F(x)=f(x)+g(x)+2-4,且存在x0(-,0)使F(x0)=-4.故F(x)在区间(-,0)内有最小值-4.答案:D9.已知实数a0,函数f(x)=2x+a,x0时,1-2a1,所以由f(1-2a)=f(1+a),得2(
5、1-2a)+a=-(1+a)-2a,得a无解;当a1,1+a0恒成立,则不等式f(x+3)0,则函数f(x)在R上单调递增,结合图象(图略)可知f(x+3)0x+3-1,则x-4.答案:D11.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)=xf(x),g(x)在区间(-,0)内单调递减.若a=g(0.51.3),b=g(0.61.3),c=g(0.71.3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca解析:因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数.又因为g(x)在区间(-,0)内单调递减,所以在区间(0,+)内单调递增.因为0.51.30.61.30.71.3,所以g(0.
6、51.3)g(0.61.3)g(0.71.3),即ab-1,若f(m)=-5,则实数m的值为.解析:若m-1,则由m+2=-5,得m=-7;若m-1,则由-m2+4m=-5,得m=5,所有实数m的值为-7或5.答案:-7或515.已知函数f(x)对一切x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(-3)=a,则用a表示f(12)=.解析:令x=y=0,得f(0)=2f(0),于是f(0)=0,所以f(0)=f(3)+f(-3),得f(3)=-a,于是f(6)=2f(3)=-2a,f(12)=2f(6)=-4a.答案:-4a16.已知投资x万元,经销甲商品所获得的利润为P=x4;经销乙商品
7、所获得的利润为Q=ax2(a0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为.解析:设投资甲商品(20-x)万元,则投资乙商品x万元(0x20).利润分别为P=20-x4和Q=ax2.因为当0x20时,P+Q=20-x4+ax25恒成立,所以2axx.因为0x20,所以a5,故a的最小值为5.答案:5三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ax-1,x0,1x,x0,且f(2)=0.(1)求f(f(0);(2)若f(m)=m,求实数m的值.解:(1)由f(2)
8、=0,得2a-1=0,于是a=12.因此f(x)=12x-1,x0,1x,x0,所以f(0)=-1,故f(f(0)=f(-1)=-1.(2)当m0时,由f(m)=m,得12m-1=m,解得m=-2(舍去);当m0时,由f(m)=m,得1m=m,解得m=-1或m=1(舍去),故实数m的值等于-1.18.(本小题满分12分)已知f(x)=ax2+bx是定义在区间(-,b-3b-1,+)内的奇函数.(1)若f(2)=3,求a,b的值;(2)若-1是方程f(x)=0的一个根,求函数f(x)在区间2,4上的值域.解:(1)由f(x)为奇函数,得(b-3)+(b-1)=0,解得b=2.又f(2)=3,得4
9、a+22=3,解得a=1.故a,b的值分别为1,2.(2)由条件知,f(-1)=0,所以a+2=0,因此a=-2.则f(x)=-2x2+2x=-2x+2x.因为f(x)在区间2,4上单调递减,所以f(x)的最大值为f(2)=-3,最小值为f(4)=-7.5.故函数f(x)在区间2,4上的值域为-7.5,-3.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c,若不等式f(x)0的解集是x|-4x2.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间m,m+2上的最小值为-5,求实数m的值.解:(1)依题意知方程ax2+2x+c=0的两个根是-4与2,所以-4+2=-2a,-42=c
10、a,解得a=1,c=-8,于是f(x)=x2+2x-8.(2)f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9.当m+2-1,即m-3时,f(x)在区间m,m+2上单调递减,所以最小值为f(m+2),则f(m+2)=-5,即(m+3)2-9=-5,解得m=-5(m=-1舍去);当m-1时,f(x)在区间m,m+2上单调递增,所以最小值为f(m),则f(m)=-5,即(m+1)2-9=-5,解得m=1(m=-3舍去);当m-1m+2,即-3m-1时,f(x)在区间m,m+2上先单调递减再单调递增,所以最小值为f(-1)=-9,不合题意,舍去.综上,实数m的值为-5或1.20.(本小题满分12分)设f(
11、x)为定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=-(x-2)2+2.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.解:(1)若x0,f(x)=f(-x)=-(-x-2)2+2=-(x+2)2+2,则f(x)=-(x-2)2+2,x0,-(x+2)2+2,x0.(2)图象如图所示.(3)由于方程f(x)-k=0的解就是函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点的横坐标,观察函数y=f(x)图象与直线y=k的交点情况可知,当-2k0,且f(x)一定为奇函数,故当命题p为真命题时,有a0;若g(x)=mx2+2x
12、-1在区间12,+内单调递减,必有m0,即m3k;“命题q为假”时,m-2,因为“命题p为真”是“命题q为假”的充分不必要条件,所以3k-2,解得k-23,即实数k的取值范围是-23,+.22.(本小题满分12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图(注:利润与投资量的单位:万元).图图(1)分别将A,B两产品的利润表示为投资量的函数解析式;(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?解:(1)设
13、投资x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,依题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2x.由题图,得f(1)=0.2,即k1=0.2=15.由题图,得g(4)=1.6,即k24=1.6,所以k2=45.故f(x)=15x(x0),g(x)=45x(x0).(2)设B产品投入x万元,则A产品投入(10-x)万元,企业利润为y万元,由(1)得y=f(10-x)+g(x)=-15x+45x+2(0x10).因为y=-15x+45x+2=-15(x-2)2+145,0x10,所以当x=2,即x=4时,ymax=145=2.8.因此当A产品投入6万元,B产品投入4万元时,该企业获得最大利润为2.8万元.
