1、原码, 反码, 补码 详细解析一. 机器数和真值在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.1、机器数一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。2、真值因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131
2、（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = 000 0001 = 1二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.1. 原码原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:+1原= 0000 0001-1原= 100
3、0 0001第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:1111 1111 , 0111 1111即-127 , 127原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.2. 反码反码的表示方法是:正数的反码是其本身负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.+1 = 00000001原= 00000001反-1 = 10000001原= 11111110反可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.3. 补码补码的表示方法是:正数的补码就是其本身负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+
4、1. (即在反码的基础上+1)+1 = 00000001原= 00000001反= 00000001补-1 = 10000001原= 11111110反= 11111111补对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.三. 为何要使用原码, 反码和补码在开始深入学习前, 我的学习建议是先死记硬背上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:+1 = 00000001原= 00000001反= 00000001补所以不需要过多解释. 但是对于负数:-1 = 1
5、0000001原= 11111110反= 11111111补可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单.计算机辨别符号位显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法
6、, 这样计算机运算的设计就更简单了.于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:计算十进制的表达式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = 00000001原+ 10000001原= 10000010原= -2如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:计算十进制的表达式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原+ 1000 0001原= 0000 0001反+ 1111 1110反= 1111 1111反=
7、 1000 0000原= -0发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有0000 0000原和1000 0000原两个编码表示0.于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:1-1 = 1 + (-1) = 0000 0001原+ 1000 0001原= 0000 0001补+ 1111 1111补= 0000 0000补=0000 0000原这样0用0000 0000表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用1000 0000表示-128:(-1)
8、+ (-127) = 1000 0001原+ 1111 1111原= 1111 1111补+ 1000 0001补= 1000 0000补-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, 1000 0000补就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示1000 0000补算出来的原码是0000 0000原, 这是不正确的)使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为-127, +127, 而使用补码表示的
9、范围为-128, 127.因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: -231, 231-1 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.四 原码, 反码, 补码 再深入计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 42. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 43. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =42
10、,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.首先介绍一个数学中相关的概念: 同余同余的概念两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余记作 a b (mod m)读作 a 与 b 关于模 m 同余。举例说明:4 mod 12 = 416 mod 12 = 428 mod 12 = 4所以4, 16, 28关于模 12 同余.负数取模正
11、数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?下面是关于mod运算的数学定义:上面是截图, 取下界符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用L和J替换上图的取下界符号:x mod y = x - y L x / y J上面公式的意思是:x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.以 -3 mod 2 举例:-3 mod 2= -3 - 2xL -3/2 J= -3 - 2xL-1.5J= -3 - 2x(-2)= -3 + 4 = 1所以:(-2) mod 12 = 12-2=10(-4) mod 12 = 12-4 = 8(-5) mod 12 = 12 - 5
12、= 7开始证明再回到时钟的问题上:回拨2小时 = 前拨10小时回拨4小时 = 前拨8小时回拨5小时= 前拨7小时注意, 这里发现的规律!结合上面学到的同余的概念.实际上:(-2) mod 12 = 1010 mod 12 = 10-2与10是同余的.(-4) mod 12 = 88 mod 12 = 8-4与8是同余的.距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:反身性:a a (mod m)这个定理是很显而易见的.线性运算定理:如果a b (mod m)，c d (mod m) 那么:(1)a c b d (mod m)(2)a * c b * d (mod m
13、)如果想看这个定理的证明, 请看:所以:7 7 (mod 12)(-2) 10 (mod 12)7 -2 7 + 10 (mod 12)现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.2-1=2+(-1) = 0000 0010原+ 1000 0001原= 0000 0010反+ 1111 1110反先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将1111 1110认为是原码, 则1111 1110原 = -126, 这
14、里将符号位除去, 即认为是126.发现有如下规律:(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126即:(-1) 126 (mod 127)2-1 2+126 (mod 127)2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.既然反码可以将减法
15、变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?2-1=2+(-1) = 0000 0010原+ 1000 0001原= 0000 0010补+ 1111 1111补如果把1111 1111当成原码, 去除符号位, 则:0111 1111原= 127其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:(-1) mod 128 = 127127 mod 128 = 1272-1 2+127 (mod 128)此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是-128, 128.但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是-128, 127本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!
