1、规范练1(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2022宁夏银川一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ac=2(a2-b2-c2),且sin A=2sin B.求:(1)A的大小;(2)cos(A-2B)的值.2.(本题满分12分)(2022陕西宝鸡中学模拟)某市从2022年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组90,100),100,110),140,150后得到如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在120,130)内的频数;(2)用分层抽样的方法在分数段为
2、110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人在分数段120,130)内的概率.3.(本题满分12分)(2022山西太原三模)如图,已知PAD是边长为2的正三角形,现将菱形ABCD沿边AD折叠,所成二面角P-AD-B的大小为120,此时恰有PCAD.(1)求BD的长;(2)求三棱锥P-ABC的体积.(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2sin 2=2.(1)求C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若直线l截曲
3、线C所得线段的中点坐标为(1,),求l的斜率.2.(本题满分10分)已知函数f(x)=|x-a|+2|x+1|.(1)当a=4时,解不等式f(x)8;(2)记关于x的不等式f(x)2|x-3|的解集为M,若-4,-1M,求a的取值范围.规范练1(一)必做题1.解 (1)根据正弦定理,由sin A=2sin B得a=2b,又因为ac=2(a2-b2-c2),所以由余弦定理得cos A=-.又因为0A,所以A=.(2)因为sin A=2sin B,所以sin B=,因为A为钝角,所以B为锐角,所以cos B=,于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,所以cos
4、(A-2B)=cos Acos 2B+sin Asin 2B=.2.解 (1)分数在120,130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3,故频数为800.3=24.(2)由题意,110,120)分数段的人数为800.15=12(人).120,130)分数段的人数为800.3=24(人).用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,所以需在110,120)分数段内抽取2人,分别记为A1,A2,在120,130)分数段内抽取4人,分别记为B1,B2,B3,B4,设“从样本中任取2人,至少有1人在分数段120,130)内”
5、为事件A,则样本空间=A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共包含15个样本点,事件:“从样本中任取2人,2人都不在分数段120,130)内”,=A1A2只有1个样本点,所以P()=,所以至少有1人在分数段120,130)内的概率为P(A)=1-P()=1-.3. 解 (1)取AD的中点M,连接PM,CM,AC,PAD是正三角形,PMAD,又PCAD,PC,PM平面PMC,PCPM=P,AD平面PMC,ADMC,故ACD为等腰三角形.又菱形ABCD,故CDA=60,BDA=30,故B
6、D=2.(2)由(1)知,CMP为二面角P-AD-B的平面角,CMP=120,AD平面PMC,平面PAD平面PMC,交线为PM.故三棱锥C-PAD的高h=CMsin 60=.SPAD=22sin 60=,VP-ABC=VP-ACD=VC-PAD=.(二)选做题1.解 (1)因为2sin 2=2,所以2sin cos =1,故C的直角坐标方程为xy=1.当cos 0时,l的普通方程为y-=tan (x-1);当cos =0时,l的普通方程为x=1.(2)设l截曲线C所得线段的两端点对应参数为t1,t2,将代入xy=1,得t2sin cos +(cos +sin )t+-1=0的两根即为t1,t2,所以t1+t2=-,直线l截曲线C所得线段的中点坐标为(1,),即所对应参数t=0,故=0,所以tan =-,故l的斜率为-.2.解 (1)当a=4时,f(x)=|x-4|+2|x+1|=若f(x)8,则解得-2x-1或-1x2或x,不等式f(x)8的解集是(-2,2).(2)若-4,-1M,f(x)2|x-3|,即当x-4,-1时,f(x)=|x-a|+2|x+1|2|x-3|恒成立,此时x+10,x-30,|x+1|=-x-1,|x-3|=3-x,f(x)2|x-3|等价于|x-a|8,即-8x-a8,当x-4,-1时该不等式恒成立,解得-9a4,即a的取值范围是-9,4.
