1、湖南省2021届高三上学期9月份百校联考数学试卷考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：小题内容为集合与常用逻辑用语，函数与导数（50分），三角函数（30分），大题内容为新高考范围第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若，则（ ）ABCaD2设集合，则（ ）ABCD3下列四个数中，最大的是（ ）ABCD4若，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5函数在上的图象大致为（ ）ABCD6设集
2、合，若，则a的取值围是（ ）ABCD7某艺术展览馆在开馆时间段（9:00-16:00）的参观人数（单位:千）随时间t（单位:时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）A7千B8千C9千D1万8太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是千克地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是千克下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，）ABCD二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9若，则的值可能为（ ）ABCD10设命题，在上是增函数，则（ ）Ap为真命题B
3、为，在上是减函数Cp为假命题D为，在上不是增函数11已知函数，则（ ）A的极值点不止一个B的最小值为C的图象关于y轴对称D在上单调递减12已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）ABCD第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13已知函数且，则曲线在点处的切线方程为_14已知曲线关于直线对称，则的最小值为_15不等式的解集为_16关于函数有如下四个命题：的最小值为；在上单调递增；的最小正周期为；方程在内的各根之和为其中所有真命题的序号是_四、解答题：本大題共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在，这
4、三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由问题：设是数列的前n项和，且，_，求的通项公式，并判断是否存在最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2:1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意（1）请完成如下22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
5、满意不满意合计男生女生合计60（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望附：参考公式及临界值表，其中0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63519（12分）在中，（1）求B；（2）若的周长为，求的面积20（12分）如图，已知，平面ABC，平面ABC，过点D且垂直于DB的平面a与面BCD的交线为l，（1）证明：平面AEC；（2）设点P是l上任意一点，求平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值21（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点
6、O，对称轴为坐标轴，且C经过点（1）求A到C的焦点的距离；（2）若C的对称轴为x轴，过的直线l与C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点22（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围高三数学试卷参考答案1A【解析】本题考查三角函数的诱导公式，考查运算求解能力因为，所以2D【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力因为，所以3B【解析】本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养因为，所以最大的是4B【解析】本题考查充分、必要条件的判定，考查推理论证能力因为，所以，故“”是“”的必要不充分条件5A【解析】本题考查函数图象的识别，考
7、查逻辑推理的核心素养与数形结合的数学思想因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C与D因为，所以排除B，故选A6C【解析】本题考查集合的并集与二次函数的值域，考查运算求解能力因为，所以因为，所以因为，所以，则，即7C【解析】本题考査三角函数模型的应用，考查数学运算与数学建模的核心素养下午两点整即，当时，当时，当时，取得最大值，且最大值为8C【解析】本题考查对数运算的应用（估算数量级），考查化归与转化的数学思想与数据处理能力因为，所以，故9BD【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力设，因为，所以，故10AD【解析】本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力因为“是增函数”
8、的否定为“不是增函数”，所以为，在上不是增函数当时，对恒成立，故p为真命题11BCD【解析】本题考查函数的综合，考查化归与转化及数学抽象的核心素养因为，所以，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，且只有一个极值点因为，所以是偶函数，其图象关于y轴对称12BD【解析】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力设，则，因为对恒成立，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，即13（或）【解析】本题考查导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力因为，所以因为当时，所以又，所以所求切线方程为，即14【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查数学运算与逻辑推理的
9、核心素养因为曲线关于直线对称，所以，所以，故的最小值为15【解析】本题考查基本初等函数的图象，考查数形结合的思想与直观想象的核心素养在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，这两个图象的交点为，故由图可知不等式的解集为16【解析】本题考查三角函数的性质与复合函数问题，考查逻辑推理的核心素养，当时，取得最小值，且最小值为，当时，单调递增，且，则在上单调递增因为函数与的最小正周期均为，所以的最小正周期为因为，所以的图象关于直线对称，由，得，则方程在内有四个根，且各根之和为故所有真命题的序号是17解：选因为，所以是首项为4，公比为的等比数列，所以当n为奇数时，因为随着n的增加而减少，所以此时的最大值为当
10、n为偶数时，且综上，存在最大值，且最大值为4选因为，所以是首项为4，公差为的等差数列，所以由，得，所以存在最大值，且最大值为（或），因为，所以的最大值为50选因为，所以，所以，则，又，所以当时，故不存在最大值18解：（1）由题意可知抽取60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，随机变量X的分布列为X0123P19解：（1）因为，所以若，则，从而A，C均为钝角，这不可能，故，所以，因为，所以（2）由（1）知，由正弦定
11、理得设，则，则的周长为，解得，从而，故的面积20（1）证明：因为，平面ABC，所以平面ABC，又平面，平面平面，所以因为平面ABC，所以又，所以平面AEC，从而平面AEC（2）解：作，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，平面PAE、平面ACD的法向量分别为，则，因为平面PAE，所以，令，得，即同理，令，得，即因为，当且仅当时取等号，所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为6021（1）解：当C的对称轴为x轴时，设C的方程为，将点A的坐标代入方程得，即，此时A到C的焦点的距离为当C的对称轴为y轴时，设C的方程为，将点A的坐标代入方程得，即，此时A到C的焦点的距离为（2）证明
12、：由（1）可知，当C的对称轴为x轴时，C的方程为直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，设，线段MN的中点为由，得，则，所以，且以线段MN为直径的圆的方程为，即，即，令，则，因为，所以圆仅过定点从而以线段MN为直径的圆过定点22解：（1）当时，令，得；令，得故在上单调递减，在上单调递增当时，令，得，当，即时，在上单调递增当，即时，在上单调递减，在，上单调递增当，即时，在上单调递减，在，上单调递增（2）当时，由（1）可知只有一个极小值点，且，（方法一）取，且，则，因为，所以，则，此时有两个零点（方法二）当时，从而，因此有两个零点当时，此时有一个零点，不符合题意当时，若，则恒有当时，在上单调递增，此时在上不可能有两个零点；当时，若，同理可知在上不可能有两个零点；若，在上先减后增，此时在上也不可能有两个零点综上，a的取值范围是
