1、1(2012山西四校联考)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SDADa，点E是SD上的点，且DEa(01)(1)求证：对任意的(0,1，都有ACBE；(2)若二面角CAED的大小为60，求的值解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)，0对任意(0,1都成立，即对任意的(0,1，都有ACBE.(2)显然n(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，设平面ACE的法向量为m(x，y，z)，(a，a,0)，(a,0，a)，即，令z1，则xy，m(，1)
2、，二面角CAED的大小为60，cosn，m，(0,1，.2(2012长春调研)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PD平面ABCD，AD1，AB，BC4.(1)求证：BDPC；(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小；(3)设点E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DFAB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，0)，D(0,0,0)，C(3，0)(1)证明：设PDa，则P(0,0，a)，(1，0)，(3，a)，330，BDPC.(2
3、)由(1)及PD平面ABCD易知BD平面PDC，则就是平面PDC的一个法向量(0，0)，(1，0)设AB与平面PDC所成的角的大小为，则sin.090，60，即直线AB与平面PDC所成的角的大小为60.(3)由题意知，(0，0)，(0,0，a)，(1,0，a)，(3，a)，(3，a)，(0,0，a)(3，a)(3，aa)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则，即.令z1，得xa，n(a,0,1)DE平面PAB，n0，3aaa0，即a(14)0，a0，.3.(2012郑州质量预测)如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEE
4、D，SEAD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值解：(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD，BE平面ABCD，SEBE.ABAD，ABCD，CD3AB3，AEED，AEB30，CED60.BEC90，即BECE.又SECEE，BE平面SEC，BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，(0，2
5、，0)，(2，2，0)，(0，2，1)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则，即，令y1，得x，z2.平面SBC的一个法向量为n(，1,2)设直线CE与平面SBC所成角的大小为，则sin|，直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.4(2012高考江西卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值解：(1)证明：连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E.因为AA1BB1，得OEBB1.因为A1O平面ABC
6、，所以A1OBC.因为ABAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C.又AO 1，AA1，得AE.(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，B1(1,2,2)，由得点E的坐标是(，0，)，由(1)得平面BB1C1C的法向量是(，0，)，设平面A1B1C的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，n，即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.5.(2012山西适应性考试)如图，在四棱锥PAB
7、CD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PAAB，M，N分别是线段PB，AC上的动点，且不与端点重合，PMAN.(1)求证：MN平面PAD；(2)当MN的长最小时，求二面角AMNB的余弦值解：(1)证明：过M作BA的平行线交PA于点E，过N作BA的平行线交AD于F点，连接EF，设PMANa，因为MENF，MENFa，所以四边形MEFN为平行四边形，所以MNEF.又因为EF平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)知MNEF，在RtEAF中，设AFx，则可求得EA1x.所以MN2EF2AF2EA2x2(1x)2，当且仅当x时取等号，此时MN的长最小，且M，N
8、分别为PB，AC的中点如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，M(，0，)，N(，0)，B(1,0,0)，所以(，0，)，(，0)，(，0，)，(，0)设平面AMN的法向量m(x，y，z)，则，即，令x1，可取m(1，1，1)设平面BMN的法向量为n(x1，y1，z1)，则，即，令x11，则可取n(1,1,1)所以cosm，n，故二面角AMNB的余弦值为.6(2012西城区期末考试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中点(1)求证：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)试问线段
9、A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC的中点，所以OD为A1BC的中位线，所以A1BOD，因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得BA、BC、BB1两两垂直以BC、BA、BB1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以(1，2,0)，(2，2,1)设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的一个法向量为v(0,0,1)所以cosn，v.因为二面角C1ADC是锐二面角，所以二面角C1ADC的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因为AE与DC1成60角，所以|cos，|.即|，解得1或3(舍去)所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60角
