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2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练:专题四第2讲知能演练轻松闯关 WORD版含答案.doc

1、1(2012山西四校联考)如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点,且DEa(01)(1)求证:对任意的(0,1,都有ACBE;(2)若二面角CAED的大小为60,求的值解:(1)证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,a),(a,a,0),(a,a,a),0对任意(0,1都成立,即对任意的(0,1,都有ACBE.(2)显然n(0,1,0)是平面ADE的一个法向量,设平面ACE的法向量为m(x,y,z),(a,a,0),(a,0,a),即,令z1,则xy,m(,1)

2、,二面角CAED的大小为60,cosn,m,(0,1,.2(2012长春调研)如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,ADBC,ABC90,PD平面ABCD,AD1,AB,BC4.(1)求证:BDPC;(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小;(3)设点E在棱PC上,若DE平面PAB,求的值解:如图,在平面ABCD内过点D作直线DFAB,交BC于点F,以D为坐标原点,DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,0),D(0,0,0),C(3,0)(1)证明:设PDa,则P(0,0,a),(1,0),(3,a),330,BDPC.(2

3、)由(1)及PD平面ABCD易知BD平面PDC,则就是平面PDC的一个法向量(0,0),(1,0)设AB与平面PDC所成的角的大小为,则sin.090,60,即直线AB与平面PDC所成的角的大小为60.(3)由题意知,(0,0),(0,0,a),(1,0,a),(3,a),(3,a),(0,0,a)(3,a)(3,aa)设n(x,y,z)为平面PAB的法向量,则,即.令z1,得xa,n(a,0,1)DE平面PAB,n0,3aaa0,即a(14)0,a0,.3.(2012郑州质量预测)如图,在四棱锥SABCD中,ABAD,ABCD,CD3AB3,平面SAD平面ABCD,E是线段AD上一点,AEE

4、D,SEAD.(1)证明:平面SBE平面SEC;(2)若SE1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值解:(1)证明:平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,SE平面SAD,SEAD,SE平面ABCD,BE平面ABCD,SEBE.ABAD,ABCD,CD3AB3,AEED,AEB30,CED60.BEC90,即BECE.又SECEE,BE平面SEC,BE平面SBE,平面SBE平面SEC.(2)由(1)知,直线ES,EB,EC两两垂直如图,以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,ES为z轴,建立空间直角坐标系则E(0,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),B(2,0,0),(0,2

5、,0),(2,2,0),(0,2,1)设平面SBC的法向量为n(x,y,z),则,即,令y1,得x,z2.平面SBC的一个法向量为n(,1,2)设直线CE与平面SBC所成角的大小为,则sin|,直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.4(2012高考江西卷)在三棱柱ABCA1B1C1中,已知ABACAA1,BC4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值解:(1)证明:连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E.因为AA1BB1,得OEBB1.因为A1O平面ABC

6、,所以A1OBC.因为ABAC,OBOC,得AOBC,所以BC平面AA1O,所以BCOE,所以OE平面BB1C1C.又AO 1,AA1,得AE.(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(1,2,2),由得点E的坐标是(,0,),由(1)得平面BB1C1C的法向量是(,0,),设平面A1B1C的法向量n(x,y,z),由得令y1,得x2,z1,即n(2,1,1),所以cos,n,即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.5.(2012山西适应性考试)如图,在四棱锥PAB

7、CD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA平面ABCD,PAAB,M,N分别是线段PB,AC上的动点,且不与端点重合,PMAN.(1)求证:MN平面PAD;(2)当MN的长最小时,求二面角AMNB的余弦值解:(1)证明:过M作BA的平行线交PA于点E,过N作BA的平行线交AD于F点,连接EF,设PMANa,因为MENF,MENFa,所以四边形MEFN为平行四边形,所以MNEF.又因为EF平面PAD,MN平面PAD,所以MN平面PAD.(2)由(1)知MNEF,在RtEAF中,设AFx,则可求得EA1x.所以MN2EF2AF2EA2x2(1x)2,当且仅当x时取等号,此时MN的长最小,且M,N

8、分别为PB,AC的中点如图,以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),M(,0,),N(,0),B(1,0,0),所以(,0,),(,0),(,0,),(,0)设平面AMN的法向量m(x,y,z),则,即,令x1,可取m(1,1,1)设平面BMN的法向量为n(x1,y1,z1),则,即,令x11,则可取n(1,1,1)所以cosm,n,故二面角AMNB的余弦值为.6(2012西城区期末考试)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC2AA1,ABC90,D是BC的中点(1)求证:A1B平面ADC1;(2)求二面角C1ADC的余弦值;(3)试问线段

9、A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60角?若存在,确定E点位置;若不存在,说明理由解:(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点又D为BC的中点,所以OD为A1BC的中位线,所以A1BOD,因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1,所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱,且ABC90,得BA、BC、BB1两两垂直以BC、BA、BB1所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以(1,2,0),(2,2,1)设平面ADC1的法向量为n(x,y,z),则有所以取y1,得n(2,1,2)易知平面ADC的一个法向量为v(0,0,1)所以cosn,v.因为二面角C1ADC是锐二面角,所以二面角C1ADC的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,1),其中02.所以(0,2,1),(1,0,1)因为AE与DC1成60角,所以|cos,|.即|,解得1或3(舍去)所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60角

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