1、专题05 立体几何中的基本图形位置关系一、单选题1（2021江苏南京市第二十九中学高一期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由题意易知为长方体，则异面直线与所成角为，由题设可得，即可求，进而可得其余弦值.【详解】由题意，为长方体，且共线，即为体对角线，异面直线与所成角为，而，在中，故.故选：C2（2021江苏南京市建邺高级中学高一期末）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A30B45C60D90【答案】D【解析】【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案【详解】连接，则，因为平面，在平
2、面内，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，所以异面直线与所成的角为，故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题3（2021江苏常州高一期末）如图，已知平面，且，设梯形中，且，则下列结论一定正确的是（）AB直线与可能为异面直线C直线与可能为异面直线D直线，相交于一点【答案】D【解析】【分析】由梯形的定义、平面的基本性质和异面直线的定义结合图形可判断ABC；设、交点为，可得在内且在内，则在平面的交线上可判断D.【详解】梯形中，且，则不一定成立，故A错误；因为，所以在同一平面内，所以直线与不可能为异面直线，直线与不可能为异面直线，故BC错误；由、相交，设交点为，可得在上，又，可得在
3、内，同理可得在上，又，可得在内，则在平面的交线上，即直线，相交于一点，故D正确.故选：D.4（2021江苏淮安高一期末）已知m，n，l是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐一分析判断，即可得到答案【详解】解：对于，若，则或，故选项错误；对于，若，则或与相交，故选项错误；对于，若，则平面内各作一条直线，且与相交，则，又，则，又与相交，在平面，则，故选项正确；对于，若，则或与相交，故选项错误故选：5（2021江苏扬州高一期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列
4、命题中正确的命题是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】【分析】由两平行平面中两直线的位置关系判定；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判定；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断【详解】解：若，则或与异面，故错误；若，则或与相交，故错误；若，则或与相交或与异面，故错误；若，则，又，则，故正确故选：二、多选题6（2021江苏苏州高一期末）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】AC【解析】【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误.【详解】对于A，因为，所
5、以，A正确；对于B，因为时，也可以平行，所以B错误；对于C，因为，所以，C正确；对于D，因为时，直线也可能在平面内，所以D错误；故选：AC.7（2021江苏淮安高一期末）如图，点M是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A二面角的大小为45B存在点，使得异面直线与所成的角为30C点M存在无数个位置满足D点M存在无数个位置满足平面【答案】ACD【解析】【分析】结合选项逐个分析，选项A：二面角即为二面角,求出二面角的平面角即可判断；选项B：由则为异面直线与所成角，即可判断；选项C：连接,当M在上时满足条件，可判断；选项D: 可证明平面平面，从而可判断.【详解】选项A：二面角即为
6、二面角在正方体中， 所以为二面角的平面角， 由所以二面角的大小为45，故选项A正确.选项B：，为异面直线与所成角， 平面, 平面, 所以在直角三角形中，当M在线段上移动时，M取中点，的长最小为.此时最小，正切值为，所以选项B错误.选项C：连接,当M在上时，满足条件.，平面, 当M在上时,平面, 所以当M在上时，满足条件.故选项C正确.选项D： 连接 ，平面，平面平面，平面，平面平面, 平面平面当M在时，平面平面，故选项D正确故选：ACD 三、填空题8（2021江苏淮安高一期末）若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，则该平面图形的面积为_.【答案】【解析】【分析】先在直观图求出的
7、长，然后利用原图与直观图的关系求出原图的面积【详解】作，因为，所以，.因此.又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，所以该平面图形的面积为.故答案为：四、解答题9（2021江苏常州高一期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱的中点，（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）求直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的性质，结合线面角定义进行求解即可；（3）根据平行线的性质，结合异面直线所成角的定
8、义和余弦定理进行求解即可.【详解】证明：（1）、面、面，面,面，又面面，（2）解：连结，取中点，连结，是的中点，是的中点，为的中点，又平面平面，且平面平面，平面，平面，是在平面内的射影，为与平面所成的角，为的中点，四边形为矩形，又，中，直线与平面所成角的正切值为（3）解：由（2）知，直线与所成角即为直线与所成角，连接，中，中，又，中，直线与所成角的余弦值为10（2021江苏省响水中学高一期末）如图所示，直三棱柱中，、分别是、的中点（）求证：；（）求线段的长度；（）求异面直线与的夹角余弦值【答案】（）证明见详解；（）；（）【解析】（）先由题中条件，根据线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得；（）
9、根据题中条件，得到，再由勾股定理，即可得出结果；（）连接，取的中点为，取的中点为，连接，根据题中条件，得到即等于异面直线与所成的角或所成角的补角，再由题中数据，解三角形，即可得出结果.【详解】（）因为直三棱柱中，所以；又是的中点，所以；又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以平面；又平面，所以；因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；（）因为直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以平面；又分别是的中点，则平面，；因为平面，所以，因为，所以，因此；（）连接，取的中点为，的中点为，连接，因为是的中点，所以，且， 所以即等于异面直线与所成的角或所成角的补角；取中点为，连接，则，且，因此且，因此四边形为平行四边形，
10、所以，因此，在中，所以异面直线与的夹角余弦值为.【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.一、单选题1（2021江苏泰州中学高一期末）已知空间三个平面下列判断正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】【分析】若，结合图形可得与相交或平行，可知A
11、、B均错误；根据面面平行的传递性可知C错误，D正确.【详解】若，则与相交或平行； 故A、B均错误；根据面面平行的传递性可知C错误，D正确.故选：D2（2021江苏高一期末）设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则其中正确命题的序号是（）A和B和C和D【答案】A【解析】【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得不正确由此可得本题的答案【详解】对于，因为，所以经过作平面，使，可得，
12、又因为，所以，结合得由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合，可得，故是真命题；对于，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有且成立，但不能推出，故不正确；故选：A【点睛】关键点点睛：线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质是解决本题的关键，属于中档题二、多选题3（2021江苏苏州高一期末）如图，在棱长为4的正方体中，M，N分别是的中点，则（）A平面B二面角的正切值为C三棱锥的内切球半径为D过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面的面积为18【答案】BCD【解析】【分析】选项A中，连接A1C1，交MN于点P，连接AP，利用向量法证明
13、AP与A1C不垂直，即A1C与平面AMN不垂直；选项B中，找出APA1是二面角A1MNA的平面角，计算tanAPA1即可；选项C中，利用等体积法求出三棱锥A1AMN的内切球半径长；选项D中，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接BE、EF、DF，四边形BEFD是过直线BD与平面AMN平行的截面，可求出四边形的面积【详解】对于A，如图1所示，连接A1C1，B1D1，则MNB1D1，由B1D1平面A1C1C，得MN平面A1C1C，所以MNA1C；设MN交A1C1于点P，连接AP，以矩形ACC1A1的底边AC为x轴，AA1为y轴建立平面直角坐标系，如图2 所示：则所以，则，所以与不垂直，即AP与
14、A1C不垂直，所以A1C与平面AMN不垂直，选项A错误；对于B，由上有M N平面A1C1C，则，且 所以APA1是二面角的平面角，则tanAPA12，所以二面角的正切值为，选项B正确；对于C，设三棱锥A1AMN的内切球半径为r，,则所以 又 解得，所以三棱锥A1AMN的内切球半径为，选项C正确；对于D，如图3所示 取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接BE、EF、DF，则 ,又，所以,所以四点共面.平面AMN平面BEFD，且平面平面,平面平面，所以, 又，所以四边形 为平行四边形.则,由，则则四边形BEFD是过直线BD与平面AMN平行的截面，且四边形BEFD是等腰梯形， 梯形BEFD的面积
15、为, 所以选项D正确故选：BCD4（2021江苏高一期末）如图，在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A四点共面B平面平面C直线与所成角的为D平面【答案】BC【解析】【分析】根据点线面的位置关系逐个判断选项即可.【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面
16、位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5（2021江苏南京市第一中学高一期末）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是（）A满足的点的轨迹为线段B点存在无数个位置满足直线平面C在线段上存在点，使异面直线与所成的角是D若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由正方体的性质和可得平面，从而可得点在线段上时，有；对于B，由正方体的性质可得平面平面，所以当点在上时，均有平面，从而可判断；对于C，异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，从而可判断；对于D，由正方体的性质得，平面，若正方体的棱
17、长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，从而可求出其体积【详解】解：对于A，如图，在正方体中，平面，平面，所以，因为，所以平面，所以当点在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，所以A正确；对于B，在正方体中，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，而，所以平面平面，所以当点在上时，均有平面，所以点存在无数个位置满足直线平面，所以B正确；对于C，异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角是，所以C错误；对于D，由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，其值为，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点
18、点睛：此题考查以正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，解题的关键是正确利用正方体的性质。6（2021江苏南京师大附中高一期末）正方体的棱长为分别为的中点.则（）A直线与直线AF垂直B直线与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点和点D到平面AEF的距离相等【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义判断A，由面面平行的性质定理判断B，作出完整的截面，判断CD【详解】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错；取中点，连接，由分别是中点，得，又，是平行四边形，所以，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面B正确；由正方体性质，连接，
19、则截面即为四边形，它是等腰梯形，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确，设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等D正确故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解三、填空题7（2021江苏徐州高一期末）如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为的中点，则异面直线SA与CD所成角为_【答案】【解析】【分析】取AB中点O，连接OC，OD，证明为异面直线SA与CD所成角
20、即可得解.【详解】取AB中点O，连接OC，OD，SO，如图：因点C为母线SB的中点，则CO/SA，于是有异面直线SA与CD所成角是或其补角，又正为圆锥SO的轴截面，D为的中点，则，从而得平面，平面，则，因，平面，则平面，又平面，因此有，而，于是得，所以异面直线SA与CD所成角为.故答案为：四、解答题8（2021江苏南京市建邺高级中学高一期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得，直径所对的圆周角为直角证得，再线面垂直的判定定理可证；（2）数形结合，证得即为二面
21、角的平面角，然后在三角形中，利用边角关系求解即可.【详解】解析：（1）因为垂直于圆所在的平面，所以平面，因为平面，所以，因为是以为直径的半圆上一点，所以，又，平面，所以平面（2）连接，在半圆中，因为，所以，又因为是的中点，所以，在内过点作，垂足为点，连接，则面 BCD，则为在面的投影，因为，所以，所以即为二面角的平面角，其中，由得，算得，所以，故二面角的余弦值为9（2021江苏苏州高一期末）如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.（1）求证：；（2）在翻折过程中，求二面角的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在矩形中，可证明，则在
22、翻折过程中，从而可证明平面，从而可证明.（2）过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.因为平面平面，所以,从而是二面角的平面角，然后求解即可得出答案.【详解】解：（1）如图1，连接交于F.因为，且E为的中点，在矩形中，因为，所以，所以，所以，所以，即.由题意可知平面，所以平面.因为平面，所以.（2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.因为平面平面，所以.又因为平面，所以平面.因为平面，所以.又因为平面，所以平面.因为平面，所以.所以是二面角的平面角.在翻折过程中，设.在矩形中，由，E为的中点，得.在直角三角形中，所以，因为，所以，所以，所以.在直角三角形中，.设，所以.所以，即.解
23、得，当时，等号成立，故，因为，所以，所以二面角的最大值为.10（2021江苏南京师大附中高一期末）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60.（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l.由题意可证明平面PCD，从而可得，从而可证明结论.（2）由题意可得为二面角的平面角. 可证平面平面PCD，直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，为OP与平面PCD所成的角，通过解三角形可得答案.【详解】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l.，平面PCD，平面PCD面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，AB在底面上，l在底面外l与底面平行；（2）因为，所以为二面角的平面角.设CD的中点为F，连接OF，PF,由圆的性质，底面，底面，,平面OPF平面PCD，平面平面PCD直线OP在平面PCD上的射影为直线PF为OP与平面PCD所成的角由题设，设，则，在中，
