1、第二章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数 y=x4-2x2+5 的单调递减区间是()A.(-,-1)和(0,1)B.(-1,0)和(1,+)C.(-1,1)D.(-,-1)和(1,+)答案 A解析 y=4x3-4x=4x(x2-1),令 y0),f(x)在区间(1,+)内单调递增,f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,ax2在区间(1,+)内恒成立,x1 时,x21,a1,故选 D.7.设函数 f(x)=13x-ln x(x0),则 y=f(x)()A.在区间1e,
2、1,(1,e)内均有零点B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点C.在区间1e,1 内无零点,在区间(1,e)内有零点D.在区间1e,1 内有零点,在区间(1,e)内无零点答案 C解析由题意得 f(x)=-33(x0),令 f(x)0,得 x3;令 f(x)0,得 0 x3;令 f(x)=0,得 x=3,故知函数 f(x)在区间(0,3)内单调递减,在区间(3,+)内单调递增,在点 x=3 处有极小值 1-ln30,f(e)=e3-10,所以 f(x)在区间1e,1 内无零点,在区间(1,e)内有零点.8.设 f(x),g(x)在a,b上可导,且 f(x)g(x),则当 axg(x)B.f(x
3、)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)答案 C解析f(x)g(x),f(x)-g(x)0,h(x)=f(x)-g(x)在a,b内单调递增,f(x)-g(x)f(a)-g(a),f(x)+g(a)g(x)+f(a).二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.若函数 f(x)=13x3+x2-23在区间(a-1,a+4)上存在最小值,则整数 a 可以取()A.-3B.-2C.-1D.0答案 BCD解析由题意,得 f(x)=x2+2x=x(x+2),故
4、 f(x)在(-,-2),(0,+)内单调递增,在(-2,0)内单调递减,作出其大致图象如图所示,令13x3+x2-23=-23,得 x=0 或 x=-3,则结合图象可知,-3 -1 0,解得 a-2,1),又 aZ,所以,a 可以取-2,-1,0.10.下列结论中不正确的是()A.若 y=cos1,则 y=-1sin1B.若 y=sin x2,则 y=2xcos x2C.若 y=cos 5x,则 y=-sin 5xD.若 y=12xsin 2x,则 y=xsin 2x答案 ACD解析 y=cos1,则 y=-12sin1,故 A 错误;y=sinx2,则 y=2xcosx2,故 B 正确;y
5、=cos5x,则 y=-5sin5x,故 C 错误;y=12xsin2x,则 y=12sin2x+xcos2x,故 D 错误.故选 ACD.11.已知 ln x1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,记 M=(1-2)2+(1-2)2,则下列说法正确的是()A.M 的最小值为25B.当 M 最小时,x2=125C.M 的最小值为45D.当 M 最小时,x2=65答案 BC解析由 lnx1-x1-y1+2=0 得 y1=lnx1-x1+2,(1-2)2+(1-2)2的最小值可转化为函数 y=lnx-x+2 图象上的点到直线 x+2y-4-2ln2=0 上的点的距离的最小值的平方
6、,由 y=lnx-x+2 得 y=1-1,与直线 x+2y-4-2ln2=0 平行且与曲线 y=lnx-x+2 相切的直线的斜率为-12,则令1-1=-12,解得 x=2.切点坐标为(2,ln2).(2,ln2)到直线 x+2y-4-2ln2=0 的距离 d=|2+2ln2-4-2ln2|1+4=255,即函数 y=lnx-x+2 上的点到直线 x+2y-4-2ln2=0 上的点的距离的最小值为255,(1-2)2+(1-2)2的最小值为 d2=45.过(2,ln2)与 x+2y-4-2ln2=0 垂直的直线为 y-ln2=2(x-2),即 2x-y-4+ln2=0,由+2-4-2ln2=0,
7、2-4+ln2=0,解得 x=125,即当 M 最小时,x2=125,故选 BC.12.若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T性质,下列函数中具有 T 性质的是()A.y=cos xB.y=ln xC.y=exD.y=x2答案 AD解析由题意函数 y=f(x)具有 T 性质,则存在 x1,x2,使得 f(x1)f(x2)=-1.y=cosx 的导数为 y=-sinx,存在 x1=2,x2=-2,使得 f(x1)f(x2)=-1;y=lnx 的导数为 y=10,不存在 x1,x2,使得 f(x1)f(x2)=-1;y=ex的导数
8、y=ex0,不存在 x1,x2,使得 f(x1)f(x2)=-1;y=x2的导数为 y=2x,存在 x1=1,x2=-14,使得 f(x1)f(x2)=-1.综上,具有性质 T 的函数为 AD.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10 x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 .答案(-2,15)解析令 y=3x2-10=2,得 x=2,又点 P 在第二象限内,x=-2,得点 P 的坐标为(-2,15).14.若曲线 y=ax2-ln(x+1)在点(1,
9、b)处的切线平行于 x 轴,则 a=.答案14解析由题意得 y=2ax-1+1,曲线在点(1,b)处的切线平行于 x 轴,2a-12=0,a=14.15.已知函数 y=xf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),给出以下说法:函数 f(x)在区间(1,+)内是增函数;函数 f(x)在区间(-1,1)上无单调性;函数 f(x)在 x=-12处取得极大值;函数 f(x)在 x=1 处取得极小值.其中正确的说法有 .(填序号)答案解析从图象上可以发现,当 x(1,+)时,xf(x)0,于是 f(x)0,故 f(x)在区间(1,+)内单调递增,故正确;当 x(-1,1)时,f(
10、x)0,所以函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,错误,也错误;f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+)内单调递增,所以函数 f(x)在 x=1 处取得极小值,故正确.16.定义方程 f(x)=f(x)的实数根 x0叫作函数 f(x)的“新驻点”.设 f(x)=sin x,则 f(x)在(0,)上的“新驻点”为 .如果函数 g(x)=ln(x+1)与 h(x)=x+ex的“新驻点”分别为,那么 和 的大小关系是 .答案4 解析f(x)=cosx,令 sinx=cosx,即 tanx=1,因为 x(0,),故 x=4.g(x)=11+,由题意可得,g()=g(),即 11+=
11、ln(1+),设 H(x)=11+-ln(1+x),则易得 H(x)在(-1,+)内单调递减且 H(1)=12-ln2=lne2 0,故 1,h(x)=1+ex,由 1+e=+e,故=1,所以 0).(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(0,1上的最大值为12,求 a 的值.解(1)函数 f(x)的定义域为(0,2),f(x)=1 12-+a.当 a=1 时,f(x)=-2+2(2-),所以 f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当 x(0,1时,f(x)=2-2(2-)+a0,即 f(x)在(0,1上单调递增,故 f(x)在(0,1
12、上的最大值为 f(1)=a,因此 a=12.19.(12 分)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当 x(1,+)时,f(x)0,求 a 的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+),当 a=4 时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx+1-3,f(1)=-2,f(1)=0,曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 y=-2(x-1),即 2x+y-2=0.(2)当 x(1,+)时,f(x)0 等价于 lnx-(-1)+1 0,设 g(x)=lnx-(-1)+1,
13、则g(x)=1 2(+1)2=2+2(1-)+1(+1)2,且 g(1)=0.当 a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故 g(x)0,g(x)在(1,+)内单调递增,因此 g(x)0;当 a2 时,令 g(x)=0 得,x1=a-1-(-1)2-1,x2=a-1+(-1)2-1.由 x21 和 x1x2=1 得 x11,故当 x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)内单调递减,因此 g(x)1 时,x(0,1)时,y0,所以函数 y=16-x-4+1在(0,1)内单调递增;x(1,a)时,y1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大;当 a1 时,促
14、销费用投入 a 万元,厂家的利润最大.21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x=23时,y=f(x)有极值.(1)求 a,b,c 的值;(2)求 y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.解(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f(x)=3x2+2ax+b.由题意,f(1)=3,可得 2a+b=0.当 x=23时,y=f(x)有极值,则 f23=0,可得 4a+3b+4=0.由解得 a=2,b=-4,又 f(1)=4,1+a+b+c=4,c=5.故 a=2,b=-4,c=5.(2)由(1)可
15、得 f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4.令 f(x)=0,得 x1=-2,x2=23.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2-2,23 23 23,1 1 f(x)+0-0+f(x)8 13 9527 4 f(x)max=13,f(x)min=9527.22.(12 分)设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x)在点12,f(12)处的切线与 y 轴垂直.(1)求 b;(2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.(1)解 f(x)=3x2+b,依题意得 f(12)=0,即
16、34+b=0.故 b=-34.(2)证明由(1)知 f(x)=x3-34x+c,f(x)=3x2-34.令 f(x)=0,解得 x=-12或 x=12.f(x)与 f(x)的情况为:x-,-12 -12-12,12 12 12,+f(x)+0-0+f(x)c+14 c-14 因为 f(1)=f(-12)=c+14,所以当 c14时,f(x)只有小于-1 的零点.由题设可知-14c14.当 c=-14时,f(x)只有两个零点-12和 1.当 c=14时,f(x)只有两个零点-1 和12.当-14c14时,f(x)有三个零点 x1,x2,x3,且 x1-1,-12,x2-12,12,x312,1.综上,若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,则 f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
