1、专题能力训练2不等式(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若0,则下列结论不正确的是()A.a2b2B.abb2C.a+b|a+b|2.(2017浙江宁波中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.a5B.a7C.5a7D.a5或a73.不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)4.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)x恒成立,则a的取值范围为()A.a-1B.-2a0C.0a0),则lg m(lg n+lg 2)的最大值是()A.1B.C.D.27.(2017
2、浙江嘉兴一中适应性模拟)已知xy=1,且0y0,y0,则的最小值为.14.已知函数f(x)=(1+ax+x2)ex-x2,若存在正数x0,使得f(x0)0,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x+(x3).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)+7恒成立,求实数t的取值范围.16.(本小题满分15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a=2,当x-1,3时,f(x)的最大值不大于7,求b+c的最大值;(2)若当|f(x)|1对任意的x-1,1恒成立时,都
3、有|ax+b|M对任意的x-1,1恒成立,求M的最小值.参考答案专题能力训练2不等式1.D解析 由题意可知ba0,因此选项A,B,C正确.而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,应选D.2.C解析 如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.故选C.3.A解析 当x1时,原不等式等价于1-x-(5-x)2,即-42,x1.当1x5时,原不等式等价于x-1-(5-x)2,即x4,1x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解.综合,可知x4.故选A.4.A解析 依题意,f(x)=易知当a0时,f(x)x不恒成立,故a0.在同一直角坐标系中作出函数y
4、=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)x-a1,即a-1.故选A.5.D解析 依题意,易知k-1不符合题意,由可得直线kx-y+3=0与y=0的交点为,在平面直角坐标系中作出各直线(图略),结合图形可知,当直线z=y-x过点时,z有最小值,于是有0+=-12,k=-.故选D.6.A解析 因为lg m(lg n+lg 2)=lg mlg 2n,又m+2n=202,所以mn50,从而lg m(lg n+lg 2)1,当且仅当m=10,n=5时等号成立.故选A.7.A解析 因为xy=1且0y,所以x-2y0.所以=x-2y+4,当且仅当x=+1,y=时等号成立.故选A.8.C解析 由约束
5、条件作出可行域如图中阴影所示,联立可得A(2,1),联立可得C(0,1),联立可得B(1,2).由0ax+by2恒成立,可得画出关于a,b的可行域,如下图阴影部分所示:a2+b2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方,显然点D到原点的距离最大,由可得D.故a2+b2的最大值为.9.2解析 xz+yz=+2y=2,当且仅当x=y=z时取等号;x2+y2=4-z2,x+y=-z,则(x+y)2=4-z2+2xy4-z2+,即z28-2z2,-z.故z的最大值是,当且仅当x=y时取等号.10.1,4解析 由点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,故有作出可行域如图中阴影三角形ABC,令z=m+2
6、n,则直线z=m+2n过点B(0,2)时,zmax=4,过点C时,zmin=,故m+2n的取值范围为.令|OP|2=m2+n2=u,其中P在阴影三角形ABC内(包括边界),由图知当点P的坐标为(0,2)时,umax=4,当点P的坐标为(0,1)时,umin=1,故m2+n2的取值范围为1,4.11.(-,0)2解析 当a0时,|x+1|+|x-3|的最小值为4,a+4.a=2.综上,可知a(-,0)2.12.-1,11解析 根据约束条件画出可行域,画出z=2|x|+y表示的虚线部分.由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D(0,-1)时,z最小为-1.当虚线部分z=2|x|+y过点A(6,-1)
7、时,z最大为11.故所求z=2|x|+y的取值范围是-1,11.13.解析 设=t0,则+t=(2t+1)-2,当且仅当t=时取等号.故答案为.14.解析 由f(x)=(1+ax+x2)ex-x20,得a-x-,令g(x)=-x-,则g(x)=,g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=-2,存在正数x0,使得a-x-,则a-2.15.解 (1)x3,x-30.f(x)=x+=x-3+32+3=9,当且仅当x-3=,即(x-3)2=9时,上式取得等号.又x3,x=6.当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知,当x3时,f(x)的最
8、小值是9,要使不等式f(x)+7恒成立,只需9+7,-20,即0,解得t-2或t-1.实数t的取值范围是(-,-2(-1,+).16.解 (1)由题意知,f(x)=2x2+bx+c,当x-1,3时,f(x)7恒成立,即f(x)max7.()当-1,即b-4时,f(x)max=f(3)=18+3b+c7,得3b+c-11,故b+c=(3b+c)+2(-b)-11+8=-3.()当-1,即b-4时,f(x)max=f(-1)=2-b+c7,得-b+c5,故b+c=(-b+c)+2b5-8=-3.综上,可得(b+c)max=-3.(2)当|x|1时,易知1,1,故由题意知1,1,所以|ax+b|=1+1=2,所以M2.故M的最小值为2.
