1、2.2一元二次不等式的应用内容标准学科素养1.会用不等式求其他问题中的参数的取值范围.2.会解分式不等式与高次不等式.3.能够运用不等式解决简单的实际问题.准确分类讨论规范等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第57页基础认识知识点一一元二次不等式恒成立问题知识梳理解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像求解(1)一元二次不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是；(2)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；(3)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；(4)不等式ax2
2、bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；(5)f(x)a恒成立，xDf(x)maxa，xD；(6)f(x)a恒成立，xDf(x)mina，xD.知识点二不等式的应用问题思考并完成以下问题1分式不等式可转化为整式不等式解决吗？需要注意什么？提示：可以，需要注意的是分母中因式的根不能在解集中2若a，bR，0与ab0，0与ab0是否等价？0与ab0，0与ab0呢？提示：0与ab0，0与ab0等价；0与ab0，0与ab0不等价3课本中讲到用“穿针引线法”解高次不等式时，要从数轴右上方依次过每个根画曲线，请问在对不等式的左边整理时应注意什么问题？提示：应注意把每个一次因式中x的系数都化为正知
3、识梳理1.分式不等式的解法对分子分母含x的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简大体情况如下：(1)0f(x)g(x)0；(2)0f(x)g(x)0；(3)0(4)0(5)02形如(xa)(xb)(xc)0的不等式解法设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，如果把函数f(x)图像与x轴的交点(a，0)，(b，0)，(c，0)，形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，这种求解不等式(xa)(xb)(xc)0的方法，称为穿针引线法思考：1.利用图形计算器来解不等式应当注意什么？提示：借助图形计算器画函数图像解不等式很便捷，但这种
4、方法解不等式是有局限的，因为图形计算器只能显示函数的局部图像，无法显示出无穷远处的情况2你能用图形计算器解不等式2sin x0吗？提示：可以借助图形计算器画出函数的局部图像，再根据函数的周期性写出不等式的解集自我检测1函数y对一切xR恒成立，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm0或m2 D0m2解析：由题意知x2mx0对一切xR恒成立，m22m0，0m2.故选D.答案：D2不等式0的解集是_解析：不等式0等价于(x2)(x4)0.解得4x2.故解集为x|4x2答案：x|4x2授课提示：对应学生用书第58页探究一不等式的恒成立问题阅读教材P83，练习第2题已知函数y(a2)x22(a4)x
5、4的图像都在x轴上方，求实数a的取值的集合解析：当a2时，y4x4的图像不都在x轴上方，a2.当a2时，y(a2)x22(a4)x4的图像都在x轴上方，解得a2.解得(a2)240，解集为.a的取值范围组成的集合为.例1已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，不等式f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于一切实数x，不等式f(x)2恒成立，求实数m的取值范围解题指南(1)可由m0或求解；(2)先将不等式化为f(x)20，再由m0或求解解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10.若m0，则，解得4m0.综上可知，m的取值范围是(4，0(2)不等式f(x)2，即为
6、mx2mx10.若m0，则不等式即为10，显然恒成立；当m0，则应有解得0m4.综上，实数m的取值范围是0，4延伸探究1.本例中，若将条件改为当x1，3时，不等式f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围解析：法一：要使f(x)m5在x1，3上恒成立，就要使mm60在x1，3上恒成立令g(x)mm6，x1，3当m0时，g(x)在1，3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60.0m.当m0时，60恒成立当m0时，g(x)在1，3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，即m6，m0.综上可知，m的取值范围是.法二：当x1，3时，f(x)m5恒成立，即当x1，3时，m(x2x1)60恒成立x2x10
7、，且m(x2x1)60，m.函数y在1，3上的最小值为，m.故m的取值范围是.方法技巧一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)判别式法不等式ax2bxc0恒成立或.不等式ax2bxc0恒成立或.(2)分离参数法若不等式中的参数比较“孤单”，便可将参数分离出来，利用af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min求解(3)参数变换位法构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围，列式求解，常见的是转化为一次函数f(x)axb(a0)在m，n上恒成立问题，若f(x)0恒成立若f(x)0恒成立跟踪探究1.已知f(x)x2ax3a，若x(2，2)，f(x)2恒成立，求a的取值范围解析
8、：函数f(x)x2ax3a的对称轴方程为x，当2，即a4时，f(x)minf(2)(2)22a3a73a，由73a2，解得a，与a4矛盾；当22，即4a4时，f(x)minf3a3a.由3a2，解得：22a22，4a22；当2，即a4时，f(x)minf(2)42a3a7a，由7a2，解得a5，5a4.综上，实数a的取值范围是5a22.探究二简单分式不等式的求解阅读教材P82例10及解答解下列不等式(1)0；(2)3.题型：解简单的分式不等式方法步骤：先把不等式右边化为0；通过符号法则转化为整式不等式；求整式不等式得原不等式的解集例2解下列不等式：(1)0；(2)0；(3)2；(4)1.解题指
9、南对于(1)，可直接转化为整式不等式进行求解，对于(2)，可转化为整式不等式进行求解，但应注意分母不为零；对于(3)，可先移项后通分，再转化为整式不等式进行求解；(4)考虑到2x210，可直接去分母，转化为整式不等式进行求解解析(1)原不等式可化为(2x3)(x4)0，解得x4或x，所以不等式的解集为.(2)原不等式可化为解得x3，所以不等式的解集为.(3)原不等式即为20，所以0，因此0，可化为(2x3)(5x4)0，解得x或x.故原不等式的解集为.(4)因为2x210，所以去分母得3x2x21，即2x23x10，解得x1或x.故原不等式的解集为.方法技巧1.分式不等式的求解思路是把分式不等
10、式转化为整式不等式，对于形如m的分式不等式，应遵循“移项通分化乘积”的原则进行求解2解不等式m，不要直接在不等式两边同乘分母g(x)，以达到去分母的目的，化为整式不等式f(x)mg(x)的形式进行求解，因为g(x)的符号不确定，这种变形是不等价的跟踪探究2.解下列不等式：(1)0.(2)1.解析：(1)0可转化为或解得x1或x0，所以不等式0的解集为x|x0或x1(2)原不等式可化为10，即0.由于x22x1(x1)20，所以原不等式等价于解得所以原不等式的解集为.探究三简单的高次不等式的求解阅读教材P82例11及解答解不等式：(x1)(x2)(x3)0.题型：解简单的高次不等式方法步骤：设出
11、函数f(x)(x1)(x2)(x3)找出函数yf(x)的图像与x轴交点的坐标yf(x)图像把x轴分成四个不同区间依次分析每个区间上的符号得解集例3解不等式1.解题指南这是高次分式不等式，先移项通分，化成只有一边含未知数，另一边是0的不等式，再让分子分母分别因式分解，最后用数轴标根法来解即可解析移项，得10，即0化简，得0.0，用数轴标根法，得，x或x1或x2.不等式的解集为.方法技巧解简单的高次不等式用“穿针引线法”，应该注意(1)各一次项因式中x的系数必为正(2)从最大的根的右上方开始穿(3)对于偶次或奇次重根，注意“奇穿偶不穿”跟踪探究3.解不等式：(x2)(x1)2(x1)3(x2)0.
12、解析：如图，关于x的不等式(x2)(x1)2(x1)3(x2)0，把各个因式的根2，1，1，2排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为(，21，2探究四一元二次不等式的简单应用阅读教材P84例12及解答题型：一元二次不等式的简单应用方法步骤：列出税率调低后的“税收总收入”；依据题意列出不等式整理后求解回扣实际问题例4行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(单位：m)与汽车的车速v(单位：km/h)满足下列关系：s(n为常数，且nN)，做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中(1)求n的值；(2)要使刹车距离
13、不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？解题指南(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组，并结合nN求得n的值；(2)由s12.6解出v的取值范围，从而得到行驶的最大速度解析(1)由题意得解得因为nN，所以n6.(2)由于刹车距离不超过12.6 m，即s12.6，所以12.6，因此v224v5 0400，解得84v60.因为v0，所以0v60，即行驶的最大速度为60 km/h.延伸探究2.本例中，背景条件不变，若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65 m，试问该车是否超速行驶？解析：由题意知s25.65，即25.65
14、，即v224v10 2600，解得v90或v114.由于v0，所以速度v的取值范围是v9080，因此该车已经超速行驶方法技巧解决实际应用问题(1)准确地将条件中的文字语言、符号语言转化为数学语言，建立数量关系，抽象为数学问题解决，要注意实际问题中变量的取值范围，保证符合实际意义(2)建立一元二次不等式模型的基本步骤理解题意，搞清量与量之间的关系；建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；解这个一元二次不等式，得到实际问题的解跟踪探究4.某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪
15、的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解析：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0，100 m.授课提示：对应学生用书第60页课后小结(1)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图像求解(2)解决分式不等式问题的关键是等价转化为整式不等式(3)解决简单的高次不等式的基本方法是穿针引线法，注意求解之前的准备工作：x的系数化为正数
16、(4)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解，同时还应注意变量的实际意义素养培优解一元二次不等式的易错点关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围易错分析当二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可若认为当系数为0时，不等式为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况自我纠正原不等式可化为mx2mx(m1)0，若m0，则不等式化为10，符合题意；若m0，则应有m0.综上，m的取值范围为m0.
