1、考点2 函数极值和最值的综合（2018北京卷（理）设函数f（x）ax2（4a1）x4a3ex.（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（2）若f（x）在x2处取得极小值，求a的取值范围【解析】（1）因为f（x）ax2（4a1）x4a3ex，所以f（x）ax2（2a1）x2ex.所以f（1）（1a）e.由题设知f（1）0，即（1a）e0，解得a1.此时f（1）3e0.所以a的值为1.（2）由（1）得f（x）ax2（2a1）x2ex（ax1）（x2）ex.若a12，则当x1a,2时，f（x）0；当x（2，）时，f（x）0.所以f（x）在x2处取得极小值若a12，则当x（0
2、,2）时，x20，ax112x10，所以f（x）0.所以2不是f（x）的极小值点综上可知，a的取值范围是12,+.【答案】见解析（2018全国卷（理）已知函数f（x）exax2.（1）若a1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，）上只有一个零点，求A（1）证明当a1时，f（x）1等价于（x21）ex10.设函数g（x）（x21）ex1，则g（x）（x22x1）ex（x1）2ex.当x1时，g（x）0，所以g（x）在（0，）上单调递减而g（0）0，故当x0时，g（x）0，即f（x）1.（2）设函数h（x）1ax2ex.f（x）在（0，）上只有一个零点等价于h（x）在（0，）上只有
3、一个零点（）当a0时，h（x）0，h（x）没有零点；（）当a0时，h（x）ax（x2）ex.当x（0,2）时，h（x）0；当x（2，）时，h（x）0.所以h（x）在（0,2）上单调递减，在（2，）上单调递增故h（2）14ae2是h（x）在（0，）上的最小值若h（2）0，即ae24，h（x）在（0，）上没有零点若h（2）0，即ae24，h（x）在（0，）上只有一个零点若h（2）0，即ae24，因为h（0）1，所以h（x）在（0,2）上有一个零点；由（1）知，当x0时，exx2，所以h（4a）116a3e4a116a3e2a2116a3(2a)411a0，故h（x）在（2,4a）上有一个零点因此h（x）在（0，）上有两个零点综上，当f（x）在（0，）上只有一个零点时，ae24.【答案】见解析
