1、第六节对数与对数函数2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)。2016，全国卷，8,5分(对数函数的性质)2016，浙江卷，12,6分(对数函数的运算)2015，全国卷，13,5分(对数函数的性质)2015，全国卷，5,5分(对数运算)较少直接考查(若考查，则幂和对数的大小比较是热点)，间接考查主要
2、体现在导数应用中。微知识小题练自|主|排|查1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad。(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)loga
3、MlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM。3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)是(0，)上的增函数(5)是(0，)上的减函数(6)ylogax的图象与ylogx(a0且a1)的图象关于x轴对称4yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。微点提醒1换底公式的两个重要结论logab；logambnlogab。
4、其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR。2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0cd1a0，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是_。【答案】(1,0)4已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)。【答案】5(2017大连模拟)不等式log(2x1)log(3x)的解集为_。【解析】由题意x0，y0,2x3y0，log2。【答案】(1)A(2)2(3)2反思归纳对数运算的一般思路1首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并。2将对数式化为同底数
5、对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算。【变式训练】(1)(2016大连模拟)计算：log2_。(2)若正数a，b满足3log2a2log3blog6(ab)，则的值为_。【解析】(1)原式|log252|log251log252log252。(2)根据题意设3log2a2log3blog6(ab)k，所以有a2k3，b3k2，ab6k，233272。【答案】(1)2(2)72考点二 对数函数的图象及应用母题发散【典例2】(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()(2)当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg
6、，即2，所以a的取值范围为。故选B。【答案】(1)C(2)B【母题变式】若本典例(2)变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围。【解析】由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1。即实数a的取值范围是。【答案】反思归纳应用对数型函数的图象可求解的问题1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想。2一些对数型方程、不等式问题常转化为
7、相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。【拓展变式】已知函数f(x)|log2x|，0mn，且f(m)f(n)，若函数f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则m2()A. B. C. D.【解析】作出函数f(x)|log2x|的图象如图。由题意可得0m1n，0m2b1,0c1，则()Aacbc BabcbacCalogbcblogac Dlogacbc BcbaCcab Dacb【解析】(1)解法一：由ab1,0cbc，A错；0c1，1c1ac1，又ab0，abbc1abac1，即abcbac，B错；易知ylogcx是减函数，0logcblogca，logbclogac，D错；由logbclo
8、gaclogac0，又ab10，alogbcblogac0，alogbcblogac，故C正确。解法二：依题意，不妨取a10，b2，c。易验证A、B、D均是错误的，只有C正确。(2)函数yf(x)是定义在R上的偶函数。当x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)为增函数，bf(log4)f(2)f(2)，120.32ba，故选B。【答案】(1)C(2)B角度二：对数不等式的有关问题【典例4】(1)(2016浙江高考)已知a，b0，且a1，b1。若logab1，则()A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0(2)设函数f(x)log(x21)，则不等式f(log2x)f(logx)2的解集为
9、()A(0,2 B.C2，) D.2，)【解析】(1)根据题意，logab1logablogaa0loga0或，即或。当时，0ba1，b10，baa1，b10，ba0。(b1)(ba)0。故选D。(2)f(x)的定义域为R，f(x)log(x21)f(x)，f(x)为R上的偶函数。易知其在区间0，)上单调递减。令tlog2x，所以logxt，则不等式f(log2x)f(logx)2可化为f(t)f(t)2，即2f(t)2，所以f(t)1，又f(1)log21，f(x)在0，)上单调递减，在R上为偶函数，1t1，即log2x1,1，x。故选B。【答案】(1)D(2)B角度三：对数性质的综合应用【
10、典例5】关于函数f(x)lg(x0)，有下列结论：其图象关于y轴对称；当x0时，f(x)是增函数；当x0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值。解析由于a0，b0，ab8，所以a，所以log2alog2(2b)log2log2(2b)(3log2b)(1log2b)(log2b)22log2b3(log2b1)24，当b2时，有最大值4，此时a4。答案4微专题巧突破幂、指数、对数比较大小的几种技巧幂、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”。解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值
11、，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小。下面以函数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力。一、直接考查单一函数【典例1】已知0a1，logamlogan0，则()A1nmB1mnCmn1 Dnm1【解析】由logamlogann1。故选A。【答案】A【变式训练1】已知实数a，b满足不等式log2alog3b，则不可能成立的是()A0ba1 B0ab1C0a1b D1ba【解析】如图yg(x)表示以2为底的对数函数图象，yf(x)表示以3为底的对数函数图象，根据log2alog3b，得1ba不可能成立。故选D。【答案】D二、以两种函数为背景【典例2】设y10.4，y20.5
12、，y30.5，则()Ay3y2y1 By1y2y3Cy2y3y1 Dy1y3，所以y2y3，又yx是R上的增函数，且0.40.5，所以y1y2，所以y1y2y3。故选B。【答案】B【变式训练2】设alog2，b40.3，cln，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dbca【解析】首先确定范围，由对数、指数函数的性质可知，0a1,0c1,0ln2c。故选C。【答案】C三、以三种函数为背景【典例3】设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则()Aabc BcbaCcab Dbac【解析】解法一：首先确定a是函数y2x与ylogx图象的交点的横坐标，b是函
13、数yx与ylogx图象的交点的横坐标，c是函数yx与ylog2x图象的交点的横坐标。分别画出函数y2x，yx，ylogx，ylog2x的图象(图象略)，易知ab1，即loga1，解得0a。0b1，即logb1，解得b1。0c1，即0log2c1，解得1c2。故选A。解法一用图象形象直观，解法二能很好地帮助学生理解和掌握函数性质。【答案】A【变式训练3】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_。(从大到小排列)【解析】解法一：直接作差法ab0，ac0，所以bac。解法二：数形结合法变形a，则a表示函数ylnx图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率。同理，b，c分别表示点(3，ln3)，点(5，ln5)与点(0,0)的连线斜率。作出函数ylnx的图象，标出相应点的位置，观察可知bac。解法三：构造函数法令y，y，令y0，得xe，所以函数在x(0，e)上单调递增，在x(e，)上单调递减，函数在xe处取得极大值，再作差比较a与c的大小，易知bac。【答案】bac
