1、课时作业1(2019永州三模)已知函数f(x)(12a)ln xax2x.讨论f(x)的导函数f(x)的零点个数解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax1若a0，由10，f(x)没有零点；若a0或a，由0，f0，10，f(x)有一个零点；若0a，由0，10，f(x)没有零点综上所述，当a0或a时，f(x)有一个零点；当0a时f(x)没有零点2已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解：f(x)x(2cos x)，令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上递减f(x)的最小
2、值为f(0)1.函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，当b1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，b的取值范围是(1，)3(2019鹰潭一模)已知f(x)ax2(b1)xln xb，曲线yf(x)在点P(e，f(e)处的切线方程为2xy0.(1)求f(x)的解析式；(2)研究函数f(x)在区间(0，e4内的零点的个数。解：(1)因为曲线yf(x)在点P(e，f(e)处的切线方程为2xy0，f(x)2ax(b1)ln xb1，所以解得所以f(x)x2(e1)xln xe.(2)由(1)知f(x)x2(e1)xln xe.令x2(e1)xln xe0，即x(e1)ln
3、x0，x(0，e4设g(x)x(e1)lnx，x(0，e4，则g(x)1.由g(x)0，得x11，x2e.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，e)时，g(x)0；当x(e，e4)时，g(x)0，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，e4)上单调递增，极大值为g(1)1e0，极小值为g(e)20，g(e4)e44(e1).4(e1)44117，e42.742.546236，g(e4)0.因此f(x)在区间(0，e4内有唯一零点4(2019长春市一模)已知函数f(x)，其中a为实数，常数e2.718.(1)若x是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当a4时，求函
4、数f(x)的单调区间；(3)当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程f(x)m有三个实数根，求a的取值范围解：(1)f(x)因为x是函数f(x)的一个极值点，所以f0，即aa10，a.而当a时，ax22ax1x22xxx，可验证：x是函数f(x)的一个极值点因此a.(2)当a4时，f(x)令f(x)0得4x28x10，解得x1，而x.所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化是x，111，111，f(x)00f(x)极小值极大值因此f(x)的单调增区间是1，1；f(x)的单调减区间是，1，1，；(3)当a取正实数时，f(x)，令f(x)0得ax22ax10，当a1时，解得x1，x2.f(x)在(，x1)和(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值f(x1)，极小值f(x2)，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x时，f(x)，当x时，f(x)0.因此当f(x2)mf(x1)时，关于x的方程f(x)m一定总有三个实数根，结论成立；当0a1时，f(x)的单调增区间是(，)，无论m取何值，方程f(x)m最多有一个实数根，结论不成立因此所求a的取值范围是(1，)
