1、课时分层作业二十五几类不同增长的函数模型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致是()【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax=a(1+0.104)y，故y=log1.104x(x1)，所以y=f(x)的图象大致为D中图象.2.如图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图象，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是()A.y=2t2B.y=log2tC.y=t3 D.y=2t【解析】选B.因为由图象知模型越来越平滑，所以只有
2、B符合条件.3. 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过_小时后才能开车(精确到1小时).()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.当x=1小时时，f(x)=51-2=0.20.02，当x1时，由0.02，得，设函数g(x)=，则g(x)是减函数，g(3)=，g(4)=，所以至少需要4小时后才能开车.4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表).现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规
3、律，其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A.y=2x-2B.y= (x2-1)C.y=log2xD.y=【解析】选B.由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0，+)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快；因为A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；所以排除A，C，D选项；所以B中函数y= (x2-1)符合题意.5.下面对函数f(x)=lox、g(x)=与h(x)=在区间(0，+)上的衰减情况说法正确的是()A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B.f(x)衰
4、减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快【解析】选C.函数f(x)=lox、g(x)=与h(x)=在区间(0，+)上的大致图象如图所示：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，+)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，+)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，+)上，递减较慢，且越
5、来越慢.6. 一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=ae-bt (cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，若再经过t0 min，容器中的沙子只有开始时的.则t0的值为()A.8B.16C.24D.32【解析】选B.由已知得ae-8b=，所以e-8b=，所以e-b=，又因为再经过t0 min，容器中的沙子只有开始时的，所以a=，所以=，=，所以=3，所以t0=16.二、填空题(每小题5分，共10分)7.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数的细胞分裂，按这种规律发展下去，细胞总
6、数超过1010个时用的时间为_小时.(参考数据：lg 30.477，lg 20.301)【解析】现有细胞100个，先考虑经过1，2，3，4个小时后的细胞总数：1小时后，细胞总数为100+1002=100(个)；2小时后，细胞总数为100+1002=100(个)；3小时后，细胞总数为100+1002=100(个)；4小时后，细胞总数为100+1002=100(个).可归纳出，细胞总数y(个)与时间x(小时)之间的函数关系为y=100，xN*.由1001010，得108，两边同时取以10为底的对数，得xlg 8，所以x.因为45.45，所以x45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.答案
7、：468.甲用1 000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将股票出售给丙，甲在上述交易中盈利_元.【解析】由题意，甲卖给乙获利：1 00010%=100(元)，乙卖给甲：1 000(1+10%)(1-10%)=990(元)，甲卖给丙：1 000(1+10%)(1-10%)90%=1 0001.10.90.9=891(元)，甲赔了：990-891=99(元)，甲的盈亏情况为盈利：100-99=1(元).答案：1三、解答题9.(10分)有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(
8、万元)的关系式为p=m，q=.今有3万元资金投入这两种商品.若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.(1)写出y关于x的函数表达式.(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值.【解析】(1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3-x)万元，所以y=x+(0x3).(2)令t=(0t)，则x=3-t2，所以y=(3-t2)+t=-+，所以当t=时，ymax=1.05(万元).由t=可求得x=0.75(万元)，3-x=2.25(万元)，所以为了获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得最大利
9、润为1.05万元.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年.(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2 018B.2 020C.2 024D.2 035【解析】选B.设公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是n，则130(1+12%)n-2 016200，化为(n-2 016)lg 1.12lg 2-lg 1.3，所以n-2 016
10、=3.8，即n2 019.8，所以n=2 020，即开始超过200万元的年份为2020年. 2.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x元)，于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是()A.2B.6C.8.5D.10【解析】选D.第二年年销售量为(11.8-x)万件，定价为每件70+= ，第二年商场在该产品经营中收取的管理费x%14，解得2x10，则x的最大值是10.3.假
11、设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是()A.投资3天以内(含3天)，采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资6天，采用方案一D.投资12天，采用方案二【解析】选D.由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为404=160(元)，方案二的回报约为10+20+30+40=100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为406=240(元)，方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元)，都高于
12、方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误.二、填空题(每小题5分，共15分)4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y=at(t0，a0且a1)的图象.有以下叙述：第4个月时，残留量就会低于；每月减少的有害物质量都相等；若残留量为，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3.其中所有正确叙述的序号是_.【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数为y=.易知正确.答案：5.某种病菌经30分钟繁殖为原来的两倍，且知病菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间(小时)，y表
13、示病菌个数，则k=_，经过5小时，1个病菌能繁殖为_个.【解析】代入y=ekt得2=，所以k=ln 2，k=2ln 2，所以函数解析式为y=e2tln 2=22t，令t=5，则1个病菌经5小时繁殖为y=210=1 024(个).答案：2ln 21 0246.三个同学甲、乙、丙参加从A地到B地的5 km负重徒步旅行，三个人同时出发，甲走的路程y1(km)与时间x(h)的关系式为y1=6x-1，乙走的路程y2(km)与时间x(h)的关系式为y2=4x，丙走的路程y3(km)与时间x(h)的关系式为y3=log2(24x+1)，则下列描述正确的是_(填序号).第一个到达目的地的人是甲；出发10分钟时
14、走在最前面的是丙；出发30分钟时三个人都走过了全程的一半；最后一个到达目的地的人是丙.【解析】画出三个函数的大致图象，如图，由y1=6x-1=5解得x=1，所以甲到达目的地用的时间是1小时，由y2=4x=5，解得x=1.25，所以乙到达目的地用的时间是1小时15分钟，由y3=log2(24x+1)=5，解得x=，所以丙到达目的地用的时间是1小时17分钟30秒，所以第一个到达目的地的人是甲，最后一个到达目的地的人是丙，所以描述正确，当出发10分钟时，即x=，y1=-1，y2=4=，y3=log2=log25，所以y3y1，y3y2，即走在最前面的是丙，所以描述正确，当出发30分钟时，即x=，y1
15、=-1=-12.5，y2=4=22.5，所以只有丙走过了全程的一半，甲、乙都没有走到一半，所以描述错误.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)【解析】本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100(1+10%5)=150(万元).本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100(1+9%)51
16、53.86(万元).由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的投资更有利，5年后多得利息3.86万元.8.某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y=f(x)的表达式，并求此函数的定义域.(2)作出函数y=f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？【解析】(1)经过1年后，廉价住房面积为200+2005%=200(1+5%)；经过2年后，廉价住房面积为200(1+5%)2；，经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%)x，所以y=200(1+5%)x(xN*).(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x0)的图象，如图所示.作直线y=300与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8x09，则取x0=9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.
