1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟 150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.数列-2,1,的一个通项公式为()A.an=(-1)n+1 B.an=(-1)n C.an=(-1)n D.an=(-1)n+1 【解析】选C.根据题意,数列-2,1,的前5项可以写成(-1)1,(-1)2 ,(-1)3 ,(-1)4 ,(-1)5 ,则数列的一个通项公式可以为an=(-1)n .2 123 25，2nnn22n2n22 123 25，21222324252n2.在等差数列an中,若a3=2,a6=4,则等差数列an的公差d=()A.B.1 C.D.【解析】选C.因为在等差数列an中,a3
2、=2,a6=4,所以等差数列an的公差d=32231363aa422.636333.已知等比数列an前9项的积为512,且a8=32,则a2=()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意,等比数列an前9项的积为512,即a1a2a3a4a5a6a7a8a9=(a5)9=512,解得:a5=2,则a2a8=4,若a8=32,则a2=.1161814121825a4.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则 的值为()A.B.C.1 D.1【解析】选D.由题知2a=1+3,所以a=2.由b2=4得b=2,所以 =1.1212abab5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a
3、5,则S9等于()A.18 B.36 C.45 D.60【解析】选C.因为a2+a8=15-a5,a2+a8=2a5,所以a5=5,所以S9=2a5=45.926.在等差数列an中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则an的前12项的和为 ()A.6 B.18 C.-18 D.-6【解析】选C.在等差数列an中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,所以a6+a7=-3,所以an的前12项的和为S12=(a1+a12)=(a6+a7)=(-3)=-18.1221221227.已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,则数列 的前n项和为()A.B.C.D.9n-1【解析】选A.
4、依题意,等比数列an的前n项和为Sn=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18,所以 =a1a3得a=-1,所以a1=2,q=3,所以数列 的首项为4,公比为9,所以数列 的前n项和Tn=.n912n914n918nn41 9911 92（）2na2na22a8.已知数列an的通项公式为an=(nN*),则满足an+1an0的n的最大值 为 ()A.11 B.12 C.13 D.24【解析】选A.an=(nN*),n12时an0且单调递增,n13时,anan0的n的取值为n11,n的最大值为11.2 160252n2 160252n9.
5、我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箍,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5 尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问 依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其质量为M,现将该 金枝截成长度相等的10段,记第i段的质量为ai(i=1,2,10).且a1a2a3 a)以及常数x(0 x1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得最佳乐观系数x的值等于 .【解析】因为c-a=
6、x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,所以x(b-a)2=(b-a)2-x(b-a)2,所以x2+x-1=0,解得x=因为0 x0),则由a3=4及a4=a2+6得4q=+6,化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去),于是a1=1,所以Sn=2n-1,nN*.(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(nN*),所以当n2时,由累加法得 4q1224qn1212bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+21)-(n-1)+1=-n+2=2n-n,又b1=1也
7、适合上式,所以bn的通项公式为bn=2n-n,nN*.n 121 21 2（）20.(12分)Sn为等比数列an的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数,使得数列Sn+是等比数列?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得 解得a1=1,q=3,所以an=3n-1,Sn=(2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列,因为S1+=+1,S2+=+4,S3+=+13,所以(+4)2=(+1)(+13),31131a q9a qa 1 q131 qq0（），n1 31 3n31.2解得=,此时Sn+=3n,则 =3,故存在常数
8、 ,使得数列 是等比数列.121212n 1n1S21S2 12n1S221.(12分)在数列an中,Sn为an的前n项和,2Sn+2n=3an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=数列bn的前n项和为Tn,证明Tn .nnn 11aaa，14【解析】(1)因为2Sn+2n=3an,所以2Sn+1+2(n+1)=3an+1,两式相减得an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),因为2S1+2=3a1,解得a1=2.所以数列an+1是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.(2)bn=所以Tn=nnn 1nn 13111()31312 3131，（）（）2
9、23nn 1n 111111111111().2 3 1313131313142 31422.(12分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=.(1)当nN*时,求f(n)的表达式;(2)设an=nf(n),nN*,求证:a1+a2+a3+an2.12【解析】(1)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=.令x=n,y=1,得:f(n+1)=f(n)f(1)=f(n),所以数列f(n)是以f(1)=为首 项,为公比的等比数列.所以f(n)=.1212121212n 11()2n1()2(2)设Tn=a1+a2+an,因为an=nf(n)=n (nN*).所以Tn=+2 +3 +n ,Tn=+2 +3 +n ,两式相减得 Tn=+-n =1-n ,所以Tn=2-n 2.n1()21221()231()2n1()221()231()21241()2n+11()2121221()2n1()2n+11()2nn 1111()122n()1212 n1()2n+11()2n 11()2n1()2
