1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017济南模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1【解析】选A.由x2+y2-2x-15=0,知r=4=2aa=2.又e=,c=1,则b2=a2-c2=3.因此椭圆的标准方程为+=1.【加固训练】(2017芜湖模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实
2、数a=()A.4B.8C.4或8D.以上都不对【解析】选C.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.(2017西安模拟)设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意,知F2F1P=F2PF1=30,所以PF2x=60.设x=a与x轴交于M点,在RtPF2M中,F2PM=30,所以|PF2|=2=3a-2c.因为|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,所以3a-2c
3、=2c,所以e=.【加固训练】(2017秦皇岛模拟)已知F是椭圆+=1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴.若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.RtPFA中,|PF|2+|FA|2=|PA|2,|FA|=a+c,|PF|=,又|PF|=|AF|,即=(a+c),即=(a+c),得4c2+ac-3a2=0,所以=.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0mb0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,
4、过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为_.【解析】如图,因为四边形PAOB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以OAP是等腰直角三角形,故a=b.所以e=.答案:8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值是_.【解析】因为=0,所以.所以|2=|2-|2=|2-1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|min=2,所以|min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A
5、,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0.所以若Q恰在以MN为直径的圆上,则=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0
6、).(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,所以-2mb0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.【解析】
7、(1)如图所示,由椭圆的几何性质知:|AB|=,而|AB|=|F1F2|,所以a2+b2=4c2=3c2.又b2=a2-c2,所以2a2=4c2,即e2=,所以e=.(2)由(1)设椭圆方程为+=1.设P(x1,y1),B(0,c),F1(-c,0),F2(c,0),因为P是异于顶点的点,所以x10,y10.以PB为直径的圆过点F1,即PF1BF1,所以=-1,所以y1=-(x1+c).设PB中点为D,D,即D.由题意得|DF2|2=|DM|2+|MF2|2,因为|DM|=|DB|=r,所以|DF2|2=+,|MF2|2=8,|DM|2=+,即+=8+.整理得cx1=-4,又P(x1,-(x1
8、+c)在椭圆上,所以+2(x1+c)2=2c2,整理得3+4cx1=0,因为x10,所以,解之得c2=3,所以所求椭圆方程为+=1.(20分钟40分)1.(5分)(2017大同模拟)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使取得最小值时,t的值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.易知椭圆的左焦点F(-4,0).根据对称性可设P(t,y0),Q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以=(t+4,y0)(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,取
9、得最小值.【加固训练】(2017合肥模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为_.【解析】设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2x02,-y0.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,取得最大值4.答案:42.(5分)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,则ABC面积的最大值为_.【解析】设与l平行
10、的直线方程为x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为C时,ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由=16a2-24(a2-1)=0得,a=,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|AB|=,所以SABC=|AB|d=.答案:3.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.设直线AB的斜率为k,若0b,所以a2=b2+c2.设A(x,y),由得.因为0k,所以01
11、,所以1a21+,即1b0)的焦点为F1,F2,过右焦点F2的直线l与C相交于P,Q两点,若PQF1的周长为短轴长的2倍.(1)求C的离心率.(2)设l的斜率为1,在C上是否存在一点M,使得=2+?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题可知PQF1的周长为4a,且4a=4b,即a=b,所以e=.(2)不存在.理由:设椭圆方程为x2+3y2=c2,直线l的方程为y=x-c,代入椭圆方程得4x2-6cx+c2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=c,x1x2=c2,设M(x0,y0),则+3=c2,由=2+得代入得4(+3)+3+4(x1x2+3y1y2
12、)=c2,因为+3=c2,+3=c2,所以c2+(x1x2+3y1y2)=0,而x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2=0,从而式不成立.故不存在点M,使得=2+成立.【加固训练】(2017周口模拟)椭圆+=1(b0)的焦点在x轴上,其右顶点(a,0)关于直线x-y+4=0的对称点在直线x=-上(c为半焦距长).(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-于点C.设O为坐标原点,且+=2,求OAB的面积.【解析】(1)椭圆的右顶点为(2,0),设(2,0)关于直线x-y+4=0的对称点为(x0,y0
13、),则解得x0=-4,所以=4,所以c=1,所以b=,所以所求椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-4,y3),过椭圆的左焦点F的直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得:(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为+=2,所以(x1,y1)+(-4,y3)=2(x2,y2),所以2x2-x1=-4.由得:x2=-,x1=,代入整理得:4k4-k2-5=0.所以k2=,所以x2=-,x1=.由于对称性,只需求k=时,OAB的面积,此时,y1=,y2=-,所以OAB的面积为|OF|y1-y2|=.5.(13分)如图,设
14、椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程.(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.【解题提示】(1)由AB1B2是面积为4的直角三角形,即可得出b与c的两个方程,进而得出椭圆的离心率和标准方程.(2)可先设出直线l的方程,再将直线方程与椭圆方程联立,利用PB2QB2的条件,结合斜率的知识,即可得出直线l的方程.【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因AB1B2是直角三角形,又|AB
15、1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-,由PB2QB2,得=0,即16m2-64=0,解得m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.关闭Word文档返回原板块
