1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)正弦定理和余弦定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015赣州模拟)在ABC中,若a=2,b=2,A=30,则B等于()A.60B.60或120C.30D.30或150【解析】选B.由正弦定理得=,解得sinB=,又ba,则B等于60或120.2.在ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=()A.或B.C.D.【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.【解析】选C.BC=a=3,AB=c=,由正弦定理
2、,得sinC=,又a=3,c=,所以ac,即AC,故C为锐角,所以C=.【误区警示】本题容易由sinC=得sinC=,没有利用ac判断AC,就得出C=或.从而导致增解.3.在ABC中,已知sinAsinBsinC=357,则这个三角形最大角的度数是()A.150B.135C.120D.90【解题提示】先把已知条件转化为三边之比,再利用余弦定理求解.【解析】选C.由正弦定理,得sinAsinBsinC=abc=357,不妨令a=3,b=5,c=7,则角C最大,因为cosC=-,0C0),则cosB=.4.(2015海淀模拟)在ABC中,a=3,b=4,sinA=,则sinC=()A.1B.1或C
3、.1或-D.1或【解题提示】先由正弦定理求sinB,再由内角和定理转化求sinC.【解析】选B.因为=,所以sinB=,因为ba,所以BA,故A为锐角,B为锐角或钝角,所以cosA=,当B为锐角时,cosB=,此时sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=1.当B为钝角时,cosB=-=-,此时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=.故选B.【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sinB的值后,没有根据ab讨论B为钝角的情况.5.在ABC中,若sinBsinC=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则ABC是()A.等
4、边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.【解析】选D.因为sinBsinC=cos2=,所以2sinBsinC=1+cos-(B+C)=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,即cosBcosC+sinBsinC=1,所以cos(B-C)=1.因为B,C是ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,又因为sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90,故ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3,C=,a=2b,则
5、b的值为.【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,即32=(2b)2+b2-22bbcos,解得b=.答案:【加固训练】若A=60,a=7,b=5,则c=.【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=25+c2-25ccos60,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2015淮北模拟)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,若acosC+asinC-b=0,则A=.【解析】因为acosC+asinC-b=0,由正弦定理得:sinAcosC+sinAsinC=sinB=si
6、n(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,即sinAsinC=cosAsinC,即2sinCsin=0,所以sinC=0(舍),或sin=0,所以A=.答案:8.(2015铜陵模拟)如图所示,在平面四边形OMPN中,OMP=ONP=,MON=,PM=3,PN=4,则OP=.【解析】连接MN.由四边形内角和为2知MPN=,在MNP中,由余弦定理MN2=MP2+NP2-2MPNPcosMPN,可得MN=,又O,M,P,N四点共圆,OP=2R=.答案:三、解答题9.(10分)(2014安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(
7、2)求sin的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b,因为b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cosA=-,因为0A,所以sinA=,故sin=sinAcos+cosAsin=.【加固训练】1.(2015宜春模拟)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且(2b+c)cosA+acosC=0.(1)求角A的大小.(2)求2cos2-sin的最大值,并求取得最大值时角B,C的大小.【解析】(1)因为(2b+c)cosA+acosC=0,所以2
8、bcosA+ccosA+acosC=0,由正弦定理,得=,所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0,即2sinBcosA+sin(C+A)=0,所以sinB(2cosA+1)=0,在ABC中,sinB0,所以2cosA+1=0,即cosA=-,又0A,所以A=.【一题多解】因为(2b+c)cosA+acosC=0,所以由余弦定理得,(2b+c)+a=0,化简整理得a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA.所以b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc,即cosA=-,又0A,所以A=.(2)因为A=,所以B=-C,0C.2cos2-sin=2
9、+sin=+2sin,因为0C,所以C+,所以当C+=时,2cos2-sin取最大值+2,此时B=C=.2.(2015天津模拟)已知锐角ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,tanA=.(1)求A的大小.(2)求cosB+cosC的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以tanA=sinA=,因为A,所以A=.(2)因为ABC为锐角三角形且B+C=,所以B=-C,cosB+cosC=cosB+cos=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin.因为B+,所以sin1,即cosB+cosC的取值范围是.(20分钟40分)1.(
10、5分)(2013新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5【解析】选D.因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=,因为ABC为锐角三角形,所以cosA=,sinA=.由正弦定理=得,=.sinC=,cosC=.又B=-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=+=.由正弦定理=得,=,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2
11、A-1=0,即cos2A=,因为ABC为锐角三角形,所以cosA=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去),故b=5.2.(5分)(2015合肥模拟)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos2B+cosB+cos(A-C)=1变形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,因为cosB=cos-(A+C)=-cos(A+C),co
12、s2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sinAsinC=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,由正弦定理=得:ac=b2,则a,b,c成等比数列.故选B.3.(5分)在ABC中,若b=50,c=150,B=30,则a=.【解题提示】先由正弦定理求角C,再求角A,最后求a.【解析】由=得sinC=.又bc,所以C=60或120.当C=60时,A=180-(B+C)=90.所以a=100,当C=120时,A=B=30,所以a=b=50.答案:50或100【易错警示】解答本题易只得一解a=100,出错的原因是由sinC=求角C时忽略
13、其为钝角的情况.【提醒】本题也可用余弦定理解答,但是数据较大,解一元二次方程麻烦.4.(12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小.(2)若sinB+sinC=1,试判断ABC的形状.【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,A=120.(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,变形得=(sinB+sinC)2-sinBsinC,又sinB+sinC=1,得
14、sinBsinC=,上述两式联立得sinB=sinC=,因为0B90,0Cb2+c2,A90.锐角三角形:若a为最大边,且满足a2b2+c2或A为最大角,且A90.5.(13分)(能力挑战题)(2014湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值.(2)求BE的长.【解题提示】利用正余弦定理和三角变换公式求解.【解析】设CED=,(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得=,于是,sin=,即sinCED=.(2)由题设知,0,于是由(1)知,cos=,而AEB=-,所以cosAEB=cos=coscos+sinsin=-cos+sin=-+=.在RtEAB中,cosAEB=,所以BE=4.关闭Word文档返回原板块
