1、第一节绝对值不等式2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c。2016，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解)2016，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解)2015，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解，分段函数的图象)本部分在高考中的考查主要侧重于两个方面：一是考查绝对值不等式的解法，往往含有两个绝对值号；另一方面是利用不等式的解集或利用函数的最值求不等式中所含的参数的取值
2、范围。微知识小题练自|主|排|查1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立。定理2：如果a，b，c是实数，那么|ab|ac|cb|，当且仅当(ac)(cb)0时，等号成立。2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xax|xR且x0R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc。微点提醒1应用“零点分区法”的注意点令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根，要把这些根按由小到大进行排序，在
3、各个区间上解不等式时，端点值要不重不漏。2从解集理解不等式恒成立问题不等式的解集为R说明不等式恒成立，不等式的解集为，说明其对立面恒成立。小|题|快|练1设ab0，a，bR，那么正确的是()A|ab|ab|B|ab|a|b|C|ab|ab|D|ab|a|b|【解析】解法一：特殊值法。取a1，b2，则满足ab20，这样有|ab|12|1，|ab|1(2)|3，|a|b|123，|a|b|12|1，只有选项C成立，而A、B、D都不成立。故选C。解法二：由ab0得a，b异号，易知|ab|ab|，|ab|a|b|，|ab|a|b|，选项C成立，A、B、D均不成立。故选C。 【答案】C2若关于x的不等式
4、|xa|1的解集为(1,3)，则实数a的值为_。【解析】由|xa|1，则1xa1，a1xk的解集为R，则实数k的取值范围为_。【解析】|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k1的解集。【解析】(1)f(x)yf(x)的图象如图所示。(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5。故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x|x5。所以|f(x)|1的解集为x|x或1x5。【答案】(1)见解析(2)x|x或1x5考点二 含绝对值的不等式的证明【典例2】设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM。(1)证明
5、：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由。【解析】(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，则M。所以|a|b|。(2)由(1)得a2，b20，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|。【答案】(1)见解析(2)|14ab|2|ab|反思归纳1.利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明。2利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明。3转化为函数问题，数形结合进行证明。【变式训练】已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1。【证明】|x5y|3(xy)2(xy)|。由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)
6、|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321。即|x5y|1。考点三 含绝对值的不等式的综合应用【典例3】(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a。(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|。当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围。【解析】(1)当a2时，f(x)|2x2|2。解不等式|2x2|26得1x3。因此f(x)6的解集为x|1x3。(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x| |2xa12x|a |1a|a。所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3。当a1时，等价于1aa3，无解。当a1时，等价于a1a3，解得a2
7、。所以a的取值范围是2，)。【答案】(1)x|1x3(2)2，)反思归纳1.不等式恒成立问题的解法若不等式f(x)a在区间D上恒成立，则f(x)maxa；若f(x)a在区间D上恒成立，则f(x)mina。2不等式能成立问题的解法若f(x)a在区间D上能成立，则f(x)mina，若f(x)a在区间D上能成立，则f(x)maxa。【变式训练】(1)(2016重庆模拟)已知函数f(x)|2x1|，g(x)|ax|。当a1时，解不等式f(x)g(x)1；当a2时，若对一切xR，恒有f(x)g(x)b成立，求实数b的取值范围。(2)已知函数f(x)|x3|x2|。求不等式f(x)3的解集；若f(x)|a
8、4|有解，求a的取值范围。【解析】(1)f(x)g(x)1|2x1|x|1，当x时，不等式(2x1)x1，解得x2；当x0时，不等式2x1x1，此时无解；当x0时，不等式2x1x1，解得x0；综上，不等式的解集为(，20，)。f(x)g(x)b(f(x)g(x)minb，f(x)g(x)|2x1|2x|(2x1)2x|1，所以b1。(2)f(x)|x3|x2|3，当x2时，有x3(x2)3，解得x2；当x3时，x3(x2)3，解得x；当3x2时，有2x13，解得1xa对于一切xR恒成立，求实数a的取值范围。解析由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a2。答案a23对于任意实数a，b已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围。解析因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m6。答案m6
