1、选修45不等式选讲1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.知识点一绝对值三角不等式 1定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立2定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当_时，等号成立答案1ab02.(ab)(bc)01判断正误(1)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(2)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(3)对|ab|a|b|当且仅当
2、ab0时等号成立()答案：(1)(2)(3)2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4知识点二含绝对值的不等式的解法 1含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|a_R2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c_；(2)|axb|c_.3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法
3、三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想答案1x|axa，或xax|xR，且x02(1)caxbc(2)axbc或axbc3若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案：24不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)解析：|x1|x5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差而数轴上满足|x1|x5|2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x1|x5|0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明：因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|
4、y2|2a.即|2xy4|0)”型不等式的解法【例2】(1)|54x|9的解集是_(2)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_【解析】(1)因为|54x|9，所以54x9或54x9，所以4x14，所以x，所以原不等式的解集为.(2)由于|x2|1|1，即1|x2|11，即|x2|2，所以2x22，所以0x4.【答案】(1)(2)0x4考向2“|xa|xb|c和|xa|xb|c(c0)”型不等式的解法【例3】(2016新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.()画出yf(x)的图象；()求不等式|f(x)|1的解集【解】()f(x)yf(x)的图象如图所示()由f(x)的表达式及图
5、象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x|x5所以|f(x)|1的解集为x|x或1x5.【总结反思】含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a(0，)，|x|aaxaxa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利
6、用函数图象求解. (1)若不等式|xa|3x0(其中a0)的解集为x|x1，则实数a的值是_(2)解不等式|2x1|x4|0.解析：(1)不等式|xa|3x0等价于或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.(2)解：令f(x)|2x1|x4|，当x4时，f(x)2x1(x4)x50得x5，所以x4时，不等式成立当x0，得x1，所以，1x4时，不等式成立当x0，得x5，所以，x1或x1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).【总结反思】不等式恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法运用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的
7、参数范围问题(2)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)m的解集为，则f(x)m恒成立. (2017郑州模拟)已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集(2)若关于x的不等式f(x)|a1|的解集非空，求实数a的取值范围解：(1)原不等式等价于或或解之得x2或x或1x4，解此不等式得a5.1对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，等号成立，对|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时左边等号成立，当且仅当ab0时右边等号成立2形如|xa|xb|c(c0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c0，则不等式解集为R.
