1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十七)用向量讨论垂直与平行(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.lB.lC.lD.l与相交【解析】选B.因为n=-2a,所以an,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直.【误区警示】本题易由an,误以为l,而误选A.2.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-2
2、【解题提示】等价于其法向量平行.【解析】选C.因为,所以=,所以k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.3.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()A.-2B.-C.D.【解析】选D,由已知得sn=0,故-12+1(x2+x)+1(
3、-x)=0,解得x=.4.(2015珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,
4、1),=-,=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.5.(2015西安模拟)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c).则即解得,令b=1,则n=(1,1,).又AM平面BDE,所以n=0.即2(x-)+=0,得x
5、=,所以M.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面和平面的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,则x=.【解析】由,得ab.所以ab=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.(2015兰州模拟)已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面与的位置关系是.【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面的一个法向量为m=(x,y,z),则 得得令z=1,得m=(1,1,1).又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即mn,所以.答案:平行【方法技巧】平面的法向量
6、的求法1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y
7、),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF.(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.【解析】(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E,F,G,因为=,=,而=,所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BE
8、F内,所以AG平面BEF.(2)设M(1,1,m),则=(1,1,m),由=0,=0,所以-+m=0m=,所以M为棱BB1的中点时,DM平面BEF.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,平面ABB1A1与平面ABC的夹角为90.求证:(1)A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.【证明】因为平面ABB1A1与平面ABC的夹角为90,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设
9、AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量为n=(x,y,z),则即即取y=1,则n=(0,1,0).所以=2n,即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以m=01+2(-1)+21=0,所以m.又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.10.(2015咸阳
10、模拟)如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF平面BCE.(2)求证:平面BCE平面CDE.【证明】设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).因为F为CD的中点,所以F.(1)=,=(a,a,a),=(2a,0,-a),可得=(+),又AF平面BCE,所以AF平面BCE.(2)因为=,=(-a,a,0),=(0,0,-2a),所以=0,=0,所以,.又CDDE=D,所以平面CDE,即AF平面CDE.又AF平面B
11、CE,所以平面BCE平面CDE.(20分钟40分)1.(5分)平面经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A.B.(6,-2,-2)C.(4,2,2)D.(-1,1,4)【解析】选D.由已知得=(2,1,1),=(3,-1,-1),设平面的法向量为n=(x,y,z),则即解得令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,(-1)0+11+(-1)4=-30,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选D.对于选项A,因为=(1,-2,-2)=,所以选项A所对应的
12、向量与平面平行,同理可知选项B,C所对应的向量均与平面平行,而对于选项D对应的向量与平面不平行,故选D.2.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对【解析】选C.以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).所以=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0)
13、,所以=(,1,-)(-,2,0)=0,即,所以AMPM.3.(5分)(2015成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且ab=cb=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),=(c-a)b=(cb-ab)=0,故ADMN,故正确;=c-a=2,故MNCE,故MN平面CDE,故正确;正确时一定不正确.答案:4.(12分)(20
14、14辽宁高考改编)如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EFBC.(2)求平面EBF与平面BFC夹角的正弦值.【解析】(1)如图,以点B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则B,A,D,C,从而E,F.所以=,=,因此=0,所以,即EFBC.(2)平面BFC的一个法向量为n1=,设平面BEF的一个法向量为n2=,又=,=,则由得令z=1得x=1,y=-,所以n2=.设平面EBF与平面BFC夹角的大
15、小为,则cos=,所以sin=,即平面EBF与平面BFC夹角的正弦值为.5.(13分)(能力挑战题)如图所示,在四棱锥S-OABC中,底面四边形OABC是直角梯形,且COA=OAB=,OA=OS=AB=1,OC=4,点M是棱SB的中点,N是OC上的点,且ONNC=13,以OC,OA,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求异面直线MN与BC所成角的余弦值.(2)求MN与平面SAB所成角的正弦值.【解析】由题知S(0,0,1),C(4,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),所以N(1,0,0),M.(1)=,=(-3,1,0),cos=-.所以直线MN与BC所成角的余弦值为.(2)=(1,1,-1),=(0,1,-1).设平面SAB的一个法向量为n=(a,b,c),则n=(a,b,c)(1,1,-1)=a+b-c=0,n=(a,b,c)(0,1,-1)=b-c=0.所以令b=1可得n=(0,1,1),cos=-.所以sin=,所以直线MN与平面SAB所成角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块
