1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十七)直线与圆锥曲线的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()A.-2B.-C.-4D.-【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F,取直线y=,则其与y=2x2交于A,B,所以x1x2=-.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2015淮南模拟)
2、已知双曲线-=1(a0,b0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选A.设点P(x0,y0),依题意得,焦点F(2,0),于是有x0=3,=24;由此解得a2=1,b2=3,因此该双曲线的渐近线方程是y=x=x.【加固训练】双曲线C的方程为-=1(a0,b0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作ll2且l交双曲线C于R,交l1于M,若=,且,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,B.(,)C.(,)D.(,+)【解析】选B.由题意得令l1:y=-x,l2:y=x,l:y
3、=(x-c),由l交双曲线C于R,令解此方程组得R,故有=,由l交l1于M,令解此方程组得M,故有=,由=,得=,所以=-,整理得a2=(1-)c2,即e2=,又,所以e2(2,3),即e(,).3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.【解题提示】设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解.【解析】选C.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-t,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|=,当t=0时,|AB|max=.4.(
4、2015上饶模拟)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.记抛物线y2=2px的准线为l,作AA1l,BB1l,BCAA1,垂足分别是A1,B1,C,则有cos60=,由此得=3,选C.【加固训练】过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M,N两点,则|MN|=.【解析】斜率k=tan=1,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线方程y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式=16-40,所以设它的两根分别为x1,x2.于是x1+x2=4,x1x2
5、=1.故|MN|=2.答案:25.(2014杭州模拟)F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MFx轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于()A.B.C.D.【解析】选A.因为MFx轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M,设lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到lMN的距离d=1,解得k=(负值舍去).又因为即N,所以|NF|=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014安顺模拟)在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.【解题提示】因为M,N两点关于直线y=x+3对称,所以kMN=-1,且M,
6、N的中点在直线y=x+3上,亦即直线y=x+3是线段MN的垂直平分线.【解析】设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令=1+4b0,所以b-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,=-+b=+b,由在直线y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,联立得解得答案:(-2,4),(1,1)【加固训练】已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中点M.
7、又M在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=3.7.(2014渭南模拟)过椭圆+=1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为.【解析】由题意知A点的坐标为(-a,0),设直线的方程为y=x+a,所以B点的坐标为(0,a),故M点的坐标为,代入椭圆方程得a2=3b2,所以2a2=3c2,所以e=.答案:8.已知曲线-=1(ab0,且ab)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且=0(O为原点),则-的值为.【解析】将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y
8、2),则x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015合肥模拟)已知椭圆T:+=1(ab0)的离心率e=,A,B是椭圆T上两点,N(3,1)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C,D两点.(1)求直线AB的方程.(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由离心率e=,可得椭圆T:x2+3y2=a2(a
9、0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.=4a2(3k2+1)-3(3k-1)20,x1+x2=,由N(3,1)是线段AB的中点,得=3.解得k=-1,代入得,a212,直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.(2)因为CD垂直平分AB,所以直线CD的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0,代入椭圆方程,整理得4x2-12x+12-a2=0.又设C(x3,y3),D(x4,y4),所以x3+x4=3,x3x4=,y3y4=(x3-2)(x4
10、-2)=,假设存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O,则x3x4+y3y4=0得a2=8,又a212,故不存在这样的椭圆.【加固训练】已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-4y的焦点是它的一个焦点,又点A(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程.(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当ABC的面积最大时,求直线l的方程.【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为(0,-),故设椭圆方程为+=1(a).将点A(1,)代入方程得+=1,整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),故所求椭圆方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,B,C的坐
11、标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0,则=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,所以0m28.由x1+x2=-m,x1x2=,得|BC|=|x1-x2|=.又点A到BC的距离为d=,故SABC=|BC|d=,当且仅当2m2=16-2m2,即m=2时取等号.当m=2时,满足0m2b0),右焦点为F2(c,0).因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b=,又c2=a2-b2,所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2
12、|OA|=|OB2|OA|=b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-,由PB2QB2,得=0,即
13、16m2-64=0,解得m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.(20分钟40分)1.(5分)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a0,b0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为()A.-=1B.y2-=1C.-x2=1D.-=1【解析】选C.由题意得,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a0,b0)渐近线的距离为,所
14、以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以|FF1|=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1.所以双曲线的方程为-x2=1,故选C.2.(5分)(2015西安模拟)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.【解析】设过点的圆x2+y2=1的切线为l,当直线l与x轴垂直时,k不存在,直线方程为x=1,恰好与圆x2+y2=1相切于点A(1,0);当直线l与x轴不垂直时,设过点的圆x2+y2=1的切线为l:
15、y-=k(x-1),即kx-y-k+=0.原点到直线l的距离为:d=1,解之得k=-,此时直线l的方程为y=-x+,l与圆x2+y2=1相切于点B;因此,直线AB斜率为k1=-2,直线AB的方程为y=-2(x-1),所以直线AB交x轴于点A(1,0),交y轴于点C(0,2),所以椭圆+=1的右焦点为(1,0),上顶点为(0,2),所以c=1,b=2,可得a2=b2+c2=5,椭圆方程为+=1.答案:+=13.(5分)已知椭圆M:+=1,直线x+y-=0交椭圆M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.C,D为椭圆M上的两点,若四边形ACBD的对角线满足CDAB,则四边形ACBD面积的最大值
16、为.【解析】因为CDAB,直线AB的方程为x+y-=0,所以可设直线CD的方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1得,3x2-4x=0,不妨设A(0,),B,所以|AB|=;将y=x+m代入+=1得,3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=,又=16m2-12(2m2-6)0,即-3mb0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程.(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程.【解析】(1)左焦点(-c,0)到点P(2,1)的距离为=,解得c=1.又离心率为,可得
17、a2=4,则b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可知,直线l不垂直于x轴,故可设直线l:y=kx+m,交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以AB的中点为,而直线OP:y=x,可得=-,解得k=-,即直线l:y=-x+m.|AB|=2=.而点P(2,1)到直线l:y=-x+m的距离为d=,所以ABP的面积为S=|AB|d=|8-2m|=其中m(-2,0)(0,2),令f(m)=(12-m2)(4-m)2,m(-2,0)(0,2),则f(m)=4(m2-2m-6)(4-m)=4(m-1
18、-)(m-1+)(4-m),所以当且仅当m=1-时,f(m)取得最大值,即S取得最大值,此时直线l:3x+2y+2-2=0.5.(13分)(能力挑战题)如图,椭圆E:+=1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|
19、=8,又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因为e=,即=,所以c=1,所以b=.故椭圆E的方程是+=1.(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m0且=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.设M(x1,0),则=0对满足(*)式的m,k恒成立.因为=,=(4-x1,4k+m),由=0,得-+
20、-4x1+3=0,整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m0且=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此时P(1,),Q(4,0),以PQ为直径的圆为+=,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=,=(3,4k+m),从而=-3+3=0,故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.关闭Word文档返回原板块
