1、第3讲抛物线基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是_解析分两类a0,a0),则准线方程为x,由抛物线定义,M点到焦点的距离等于M点到准线的距离,所以有(3)5,p4.所求抛物线方程为y28x,又点M(3,m)在抛物线上,故m2(8)(3),m2.10设抛物线C:y24x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点(1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;(2)求证:是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0),准线方程为x1,直线l的方程为yx1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x26x10,x1x
2、26,由直线l过焦点,则|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1,由得y24ky40,y4k2y1y24k,y1y24,(x1,y1),(x2,y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值能力提升题组(建议用时:25分钟)一、填空题1已知双曲线C1:1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为_解析1的离心率为2,2,即4,.x22py的焦点坐标为,1的渐近线方程为yx,即yx.由题意,得2,p8.故C2:x216y
3、.答案x216y2(2014洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点,则点P到直线l:2xy30和y轴的距离之和的最小值是_解析由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d|PF|的最小值为,所以d|PF|1的最小值为1.答案13(2014泰州二模)已知椭圆C:1的右焦点为F,抛物线y24x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的倾斜角为120,那么|PF|_.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)
4、,准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120,所以tan 120,所以yA2.因为PAl,所以yPyA2,代入y24x,得xA3,所以|PF|PA|3(1)4.答案4二、解答题4(2014台州质量评估)已知抛物线C:x24y的焦点为F,过点K(0,1)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设,求DBK的平分线与y轴的交点坐标(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,y1),l的方程为ykx1,由得x24kx40,x2k2从而x1x24k,x1x24.直线BD的方程为yy1(xx1),即y(xx1),令x0,得y1,所以点F在直线BD上(2)解因为(x1,y11)(x2,y21)x1x2(y11)(y21)84k2,故84k2,解得k,所以l的方程为4x3y30,4x3y30.又由(1)得x2x1,故直线BD的斜率为,因而直线BD的方程为x3y30,x3y30.设DBK的平分线与y轴的交点为M(0,t),则M(0,t)到l及BD的距离分别为,由,得t或t9(舍去),所以DBK的平分线与y轴的交点为M.