1、考点规范练35直接证明与间接证明考点规范练A册第26页基础巩固1.要证a2+b2-1-a2b20,只需证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0答案:D解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)0a2+b2-1-a2b20,故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0答案:C解析:b2-ac3ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c2
2、0(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.故选C.3.设x0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则()A.PQB.P0,所以P2.又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x1,所以Q2.于是PQ.故选A.4.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设()A.x,y都不为0B.xy,且x,y都不为0C.xy,且x,y不都为0D.x,y不都为0答案:D解析:原命题的结论是x,y都为0,利用反证法时,应假设x,y不都为0.5.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是()A.a+b1B.a+b2C.a2+b2
3、2D.ab1答案:B解析:若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故D推不出;对于B,若a+b2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减.若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案:A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)f(-x2)
4、=-f(x2),则f(x1)+f(x2)b0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是.答案:mn解析:(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,得mb0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=a-ba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2ab与0的大小关系,只需判断b-a与0的大小关系.由ab0,可知b-a0,即mn1,即可判断m22+5解析:要比较6+7与22+5的大小,只需比较(6+7)2与(22+5)2的大小,只需比较6+7+242与8+5+410的大小,只需比较42与210的大小,只需比
5、较42与40的大小,4240,6+722+5.9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lg a+lg b+lg c.答案:证明:a,b,c(0,+),a+b2ab0,b+c2bc0,a+c2ac0.又上述三个不等式中的等号不能同时成立.a+b2b+c2c+a2abc成立.上式两边同时取常用对数,得lga+b2b+c2c+a2lg abc,lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lg a+lg b+lg c.10.已知a0,1b-1a1,求证:1+a11-b .答案:证明由已知1b-1a1及a0可知0b11-b,只需证1+a1-b1,只需证1+a-b-ab
6、1,只需证a-b-ab0,即a-bab1,即1b-1a1,这是已知条件,所以原不等式得证.11.设函数f(x)=1x+2,a,b(0,+).(1)用分析法证明:fab+fba23;(2)设a+b4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12.答案:证明(1)要证明fab+fba23,只需证明1ab+2+1ba+223,只需证明ba+2b+ab+2a23,即证b2+4ab+a22a2+5ab+2b223,即证(a-b)20,这显然成立,所以fab+fba23.(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12,即ab+212,ba+212,所以2ab+2,2ba+2,两式相加得a+b4,这与
7、a+b4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于12.能力提升12.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形答案:D解析:由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,且A2B2C2不可能是直角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形.由sin A2=cos A1=sin2-A1,sin B2=cos B1=sin2-B1,si
8、n C2=cos C1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,则A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为180相矛盾.因此假设不成立,故A2B2C2是钝角三角形.13.已知a,b,(0,+),且1a+9b=1,要使得a+b恒成立,则的取值范围是.答案:(0,16解析:a,b(0,+),且1a+9b=1,a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba10+29=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).a+b的最小值为16.要使a+b恒成立,只需16.016.14.在RtABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图).将此三角形沿CE对折,使平面
9、AEC平面BCEF(如图),已知D是AB的中点.求证:(1)CD平面AEF;(2)平面AEF平面ABF.图图答案:证明(1)取AF中点M,连接DM,EM.D,M分别是AB,AF的中点,DM是ABF的中位线,DM12BF.又CE12BF,四边形CDME是平行四边形,CDEM.又EM平面AEF,CD平面AEF,CD平面AEF.(2)由题意知CEAC,CEBC,且ACBC=C,故CE平面ABC.又CD平面ABC,CECD.四边形CDME是矩形.EMMD.在AEF中,EA=EF,M为AF的中点,EMAF,且AFMD=M,EM平面ABF.又EM平面AEF,平面AEF平面ABF.高考预测15.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,nN*,a1=2.(1)证明:数列an-1是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=3nSn-n+1(nN*)的前n项和为Tn,证明:Tn0,所以Tn=6-3n+62n6.
