1、第二章 平面向量全章素养整合构网络提素养链高考类型一 平面向量的线性运算题型特点 向量的加、减法与数乘综合运算，既有几何图形，也有坐标运算方法归纳(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值例 1 经过OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP mOA，OQnOB，m，nR，求1n1m的值解析 设OA a，OB b，则OG 13(ab)，PQ OQ OP nbm
2、a，PG OG OP 13(ab)ma13ma13b.由 P，G，Q 共线，存在实数 使得PQ PG，即 nbma13m a13b，从而m13m，n13，消去，得1n1m3.跟踪训练 1.在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，若AB AM DB，则_解析：由图形可得：AM AB 12AD，DB AB AD，2得：2AM DB 3AB，即AB 23AM 13DB，所以 23，13，所以 29.答案：29例 2 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120，点 C 在AB 上，且COB30，若OC OA OB，则()A.3 B.33C.4 33D2 3解析 由题意得AOC90，故
3、以 O 为坐标原点，OC，OA 所在直线分别为 x轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 O(0，0)，A(0，3)，C(3，0)，B(3cos 30，3sin 30)，又OC OA OB，所以(3，0)(0，3)3 32，312，即 3 3 32，0 3 312，则2 33，33，所以 3.答案 A跟踪训练 2.已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，设AB a，BC b，CA c.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n.解析：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，4
4、2)(2)因为 mbnc(6mn，3m8n)，ambnc，所以6mn5，3m8n5，解得m1，n1.类型二 向量的数量积及应用题型特点 主观题、客观题都适合，既可利用图形求，也可利用坐标运算方法归纳(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，既 ab|a|b|cosab(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(3)运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解例 3(1)已知向量 a，b 为单位向量，且 ab12，向量 c 与 ab 共线，则|ac|的最小值为()A1 B.12 C.34
5、D.32解析 法一：向量 c 与 ab 共线，可设 ct(ab)(tR)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量 a，b 为单位向量，且 ab12，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1t1223434，当且仅当 t12时取等号，|ac|32，|ac|的最小值为 32，故选 D.法二：向量 a，b 为单位向量，且 ab12，向量 a，b 的夹角为 120，以 a的方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则向量 a(1，0)，b12，32，则 ab12，32，向量 c 与 ab 共线，可设 ct12，32(tR)，ac1t2，32 t，|ac|1
6、t223t24 t2t1 32，当且仅当 t12时取等号，|ac|的最小值为 32，故选 D.答案 D(2)设向量 a(2，2)，b 与 a 的夹角为34，且 ab2，则 b 的坐标为()A(0，1)B(1，0)C(0，1)或(1，0)D以上都不对解析 设 b(x，y)，则 ab2x2y2，即 xy1，又 cos34 ab|a|b|，即 22 2x2y22 2，则 x2y21.由，得x1，y0，或x0，y1，故 b(0，1)或 b(1，0)故选 C.答案 C跟踪训练 3.(1)在ABC 中，已知AB AC 92，|AC|3，|AB|3，M，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN 的值是(
7、)A.112B.132C6 D7解析：不妨设AM 23AB 13AC，AN 13AB 23AC，所以AM AN 23AB 13AC 13AB 23AC 29AB 259AB AC 29AC 229(AB 2AC 2)59AB AC 29(3232)5992132，故选 B.答案：B(2)平面向量 a(x，y)，b(x2，y2)，c(1，1)，d(2，2)，若 acbd1，则这样的向量 a 有()A1 个B2 个C多于 2 个D0 个解析：acxy1，bd2x22y21，其中 2x22y21 表示圆心为(0，0)，半径为 22 的圆，且圆心(0，0)到直线 xy1 的距离 d11212 22，直
8、线 xy1 与圆相切，直线 xy1 与圆只有一个交点，满足条件的向量 a 有 1 个故选 A.答案：A(3)已知平面向量 a(1，1)，b(2，2)，ckab(kR)，且 c 与 a 的夹角为4，则 k_解 析：由 题 意 得c (k 2，k 2)，因 为 cos c，a ca|c|a|k2k22（k2）2（k2）2 22，所以kk24 22，解得 k2.答案：2类型三 平面向量的平行与垂直问题题型特点 属于平面向量的综合应用，以求参数问题为多方法归纳 1.证明共线问题常用的方法(1)向量 a，b(a0)共线存在唯一实数，使 ba.(2)向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2
9、y10.(3)向量 a 与 b 共线存在不全为零的实数 1，2，使1a2b0.2证明平面向量垂直问题的常用方法abab0 x1x2y1y20，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)例 4(1)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13，若 n(tmn)，则实数 t 的值为()A4 B4 C.94 D94解析 n(tmn)，n(tmn)0，即 tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又 4|m|3|n|，t34|n|213|n|20.解得 t4，故选 B.答案 B(2)已知 a，b 是不共线的向量，AB mab，AC anb(m，nR)，若 A，B，C三点共线
10、，则 m，n 的关系一定成立的是()AmnBmnCmn1 Dmn1解析 A，B，C 三点共线，存在一个实数 t，使得AB tAC，mabtatnb，mt，tn1，mn1，故选 D.答案 D跟踪训练 4.(1)在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABADCD2，BC4，若向量 a，b 满足BA 2ab，AD 2a，则向量 a，b 的夹角为_解析：根据题意，作出等腰梯形 ABCD，如图所示，取 BC 的中点 E，连接 DE，则ED BA 2ab，EC AD 2a.易知CD ED EC 2ab2ab，EDC 是等边三角形，则向量 a，b 的夹角为23.答案：23(2)如图，在平行四边形 ABCD 中
11、，|AD|2，向量AD 在AB 方向上的投影为 1，且BD DC 0，点 P 在线段 CD 上，则PAPB的取值范围为_解析：法一：由题意知DAB45，且|AB|1，设|PD|x，则 0 x1，APADDP，BPBC CPAD CP，因而PAPB(AD DP)(AD CP)AD 2AD CPAD DP DP CP2 2(1x)cos 135 2xcos 45x(1x)x2x1x122341，3法二：以 B 为坐标原点，AB 及 BD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 B(0，0)，A(1，0)，设 P(x，1)，其中 0 x1，则PAPB(1x，1)(x，1
12、)x2x1x122341，3答案：1，31(2018高考全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB 14AC B.14AB 34ACC.34AB 14ACD.14AB 34AC解析：由题可得EB EA AB 14(AB AC)AB 34AB 14AC.答案：A2(2017高考全国卷)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|解析：依题意得(ab)2(ab)20，即 4ab0，所以 ab.答案：A3(2018高考全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0
13、解析：a(2ab)2a2ab2(1)3，故选 B.答案：B4(2017高考全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32C43D1解析：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(1，0)，C(1，0)，设 P(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，所以PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2x22y 32232，当 x0，y 32 时，PA(PBPC)取得最小值，为32，故选 B.答案：B5(2018高考全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _解析：由题意得 2ab(4，2)，因为 c(2ab)，c(1，)，所以 42，得 12.答案：12
