1、第9课时 平面上两点间的距离 教学过程一、 问题情境问题1教材P96习题第5题是:“已知点A(-1, 3), B(3, -2), C(6, -1), D(2, 4),求证:四边形ABCD是为平行四边形”,除了用两组对边分别平行,还可以用两组对边分别相等来判断.那么如何求各边的长呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生探究问题1可以从特殊情况入手.问题2已知A(x0, y1), B(x0, y2),如何求A, B间的距离?直线AB垂直于x轴,所以AB=|y2-y1|.问题3已知A(x1, y0), B(x2, y0),如何求A, B间的距离?直线AB垂直于y轴,所以AB=|x2-x1|.
2、(图1)问题4已知A(x1, y1), B(x2, y2) (x1x2, y1y2)如何求A, B间的距离?设过A点且垂直于y轴的直线与过B点且垂直于x轴的直线相交于C,则C的坐标为(x2, y1),所以AC=|x2-x1|, BC=|y2-y1|,在RtABC中,有AB=(*)不难验证当x1=x2或y1=y2时(*)仍然成立.2. 数学概念平面上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)之间的距离公式为 P1P2=.(二) 理解概念1. 公式可写成P1P2=.2. 注意公式中是对应横坐标减横坐标,纵坐标减纵坐标.3. 即使P1, P2重合,公式仍成立.问题5已知A(3, 0), B(8
3、, 0),如何求线段AB中点的坐标?画图可知线段AB中点的坐标为.问题6已知P1(x1, y1), P2(x2, y2),请猜想线段P1P2中点的坐标,并证明.设线段P1P2中点为M(x0, y0),猜想证明略.1三、 数学运用【例1】(教材P98例1)(1) 求A(-1, 3), B(2, 5)两点之间的距离.(2) 已知A(0, 10), B(a, -5)两点之间的距离为17,求实数a的值.2解(1) 由两点间距离公式得AB=.(2) 由两点间距离公式得=17,解得 a=8.故所求实数a的值为8或-8.【例2】(教材P100例2)已知ABC的顶点坐标为A(-1, 5), B(-2, -1)
4、, C(4, 7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.处理建议由中点公式可求出BC中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM的长和AM所在的直线方程.(图2)解 如图2,设点M的坐标是(x, y). 点M是线段BC的中点, x=1,y=3,即M的坐标为(1, 3).由两点间的距离公式得AM=2.因此,BC边上的中线AM的长为2.由两点式得中线AM所在的直线方程为=,即x+y-4=0.题后反思本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.【例3】(教材P101例3)已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明:AM=BC.3处理建议先引导学生怎样建立坐标系,可使
5、运算简单.(图3)证明如图3,以RtABC的直角边AB, AC所在直线为坐标轴,建立直角坐标系.设B, C两点的坐标分别为(b, 0), (0, c). M是BC的中点, 点M的坐标为,即.由两点间的距离公式得AM=,所以,AM=BC.题后反思建立坐标系时,要尽量利用对称性,使特殊点的坐标含0.*【例4】已知直线l: y=x-1,(1)求点P(3, 4)关于l对称的点Q;(2)求l关于点(2, 3)对称的直线方程.4解 (1) 设Q(x0, y0),由于PQl,且PQ中点在l上,有解得 Q.(2) 在l上任取一点,如M(0, -1),则M关于点(2, 3)对称的点为N(4, 7). 所求直线过
6、点N且与l平行, 方程为y-7=(x-4),即x-2y+10=0.题后反思本题所用方法是处理对称问题的基本方法,要求掌握.四、 课堂练习1. 求线段AB的长及其中点的坐标.(1) A(4, 6), B(-2, 2).(2) A(-3, ), B(-, 3).解 (1) AB=2, AB的中点为M(1, 4).(2) AB=3-2, AB的中点为M.2. 已知ABC的顶点A(5, 3), B(1, 1), C(7, -1),求AB边上的中线CM的长.解AB的中点为M(3, 2), CM=5.3. 已知两点P(2, -1), A(3, 4),求点A关于P的对称点B的坐标.解 设B的坐标为(x, y),则2=, -1=,解得x=1, y=-6.所以点B的坐标为(1, -6).五、 课堂小结1. 平面上两点距离公式是什么?有什么使用条件吗?2. 线段的中点坐标公式是什么?3. 这节课你学到了哪些思维方法?从特殊到一般的思维方法,先猜后证的思维方法.
