1、第5课时向量线性运算习题课 教学过程一、 问题情境梳理知识结构二、 数学建构问题1向量的线性运算与数的运算有什么不同?问题2向量线性运算的法则是什么?三、 数学运用【例1】设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行?(见学生用书P43)处理建议要证明a与b平行,只要证明存在实数,使得a=b(b0)即可.规范板书因为a+b=2e,所以e=(a+b).代入2a-b=-3e,得2a-b=-3(a+b),化简得a=-b.又若b=0,得a=2e且a=-e.因为e是非零向量,所以a=2e与a=-e不可能同时成立,故b0.所以向量a与b平行.题后反思证明两向量a和b平行或共线,需要
2、找出向量a和b之间存在的数量关系,因此在解题的过程中,消去向量e,问题得以解决.【例2】(教材第72页习题2.2第10题)如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a, =b,试用a, b表示向量, .(见学生用书P44)(例2)处理建议本题主要从两个方面入手:图形分析和向量运算.通过回忆向量加法的三角形法则,强调首尾相连,使学生在自主练习中巩固向量线性运算法则.规范板书解因为=a-b,所以=+=a+b, =+=a+b.题后反思灵活运用向量加法法则是求解本题的关键,培养学生读图、识图的能力,使学生领悟数形结合的思想.【例3】(教材第71页例4)如图,在OAB中, C为直线AB上一点,=(-1),
3、求证:=.(见学生用书P44)(例3)处理建议引导学生将已知条件中的, 用结论式中的, , 表示,进而解出.规范板书证明因为=-, =-,又=,所以-=(-),即(1+)=+.又因为-1,即1+0,所以=.题后反思(1) 结合图形分析,明确解题思路,重点是向量加、减法的三角形法则的灵活运用;本题中,当=1,即C是AB中点时,有=(+).(2) 本题所证明的结论=表明:起点为O,终点为直线AB上一点C的向量可以用, 表示.那么两个不共线的向量, 可以表示平面内任一向量吗?(可以表示,为后续学习平面向量基本定理做铺垫)*【例4】已知点G为ABC的重心,过G作直线与AB, AC两边分别交于M, N两
4、点,且=x, =y,求+的值.处理建议引导学生根据已知条件构造向量,运用向量共线定理建立方程组求解.规范板书解因为G为ABC的重心,故=(+),所以=-=(+)-x=-x+,=-=y-=y-(+)=y-.由于与共线,根据共线向量基本定理知存在实数,使=,即-x+=-,从而得即=,化简得x+y-3xy=0,两边同除以xy得+=3.题后反思本题应抓住重心的性质表示出,熟练掌握向量的线性运算及共线定理,通过对式的合理变形,体会化归的思想,也培养学生的运算能力.四、 课堂练习 1. 下列命题中真命题的个数为1. 若|a|=|b|,则a=b或a=-b; 若=,则A, B, C, D是一个平行四边形的四个顶点; 若a=b, b=c,则a=c; 若ab, bc,则ac.提示只有正确. 2. 在ABC中,=a, =b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN, AM交于点P,则可用a, b表示为-a+b. 3. 设=x+y,且A, B, C三点共线(该直线不过点O),则x+y=1. 4. 已知x, yR,向量a, b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=1, y=1.提示由已知条件得解得五、 课堂小结 1. 平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解. 2. 通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.
