1、高考资源网（） 您身边的高考专家微专题6与平面向量相关的最值问题真 题 感 悟(2019苏北七市高三一模)在平面四边形ABCD中，AB1，DADB，3，2，则|2|的最小值为_.解析以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，因为DADB，故可设D，则.因为3，AB1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，所以可设C(3，n)，从而(3，n).又2，所以mn2，即mn.又2(4，n2m)，所以|2|2，当且仅当n2m，即n1，m时，取等号.答案2考 点 整 合求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何
2、法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.热点一数量积的最值问题【例1】 (2019如皋市高三模拟)若等边ABC的边长为2，其所在平面内的两个动点P，M满足|1，则的最大值为_.解析以BA所在直线为x轴，BA中点为坐标原点建立如图直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，C(0，).由|1得P点的轨迹是圆A：(x1)2y21.由得M为PB的中点，所以M(x，y)点的轨迹方程为x2y2，于是可设xcos ，ysin ，则(x，y)(1，)x3ycos sin 3sin3，的最大值为(1)34.答案4探究提高平面向量数量积是高考数学中的C级知识点，每年均以不同形式来考查
3、，尤其以图形中的数量积运算为重点.试题以中高档题为主，解决问题的方法灵活多变，如运用数量积定义，运用坐标计算等.为此，要充分利用图形特征，选用合理的方法解决，建系转化为坐标运算是常用的技巧，求最值一般转化为函数或三角函数的最值问题.【训练1】 (2019苏北四市高三模拟)在平行四边形ABCD中，A，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的最大值为_.解析以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.令，则M，N.M，N分别是边BC，CD上的点，01.225(1)26.01，2，5.的最大值为5.答案5热点二模的最值问题【例2】
4、已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2cos2x14cos x2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，
5、这与1相矛盾.综上所述.探究提高平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2019徐州高三期中)已知m(cos ，sin )，n(，1)，(0，).(1)若mn，求角的值；(2)求|mn|的最小值.解(1)因为m(cos ，sin )，n(，1)，且mn，所以cos sin 0，即tan ，又(0，)，所以.(2)因为mn(co
6、s ，sin 1)，所以|mn|.因为(0，)，所以，故当即时，|mn|取到最小值1.热点三向量线性表示背景下的最值问题【例3】 (2019泰州期末)如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，求的最小值.解如图，建立平面直角坐标系，得A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，C(1，4)，则(4，0)，(0，4).设P(x，y)，则(x，y).由mn，即(x，y)m(4，0)n(0，4)，得x4m，y4n(m，n0)，又BC所在直线为4x3y16，所以16m12n16，即mn1，那么2(当且仅当3n24m2时取等号)
7、，即的最小值为.探究提高本题是向量线性表示背景下的最值问题，解决此类问题要将题中的向量关系转化为未知元之间的数量关系(如本题转化为mn1)，再求出目标的最值(如本题目标的最值).【训练3】 如图，在OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若xy(x，yR)，且点P落在四边形ABNM内(含边界)，求的取值范围.解由图可知x0，y0.设OP与AB交于点C，则(1)，0，1.设t，t1，2，则t(1)t，又xy，0，1，t1，2.又，当时，0，即；当时，1，即.的取值范围为.【新题感悟】 (2019浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1，2，3，4，5，6)取遍1时，|123456|的
8、最小值是_；最大值是_.解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(1，0)，(0，1).设a12345612345()6()(1356)(2456)(1356，2456).故|a|.i(i1，2，3，4，5，6)取遍1，当13560，24560时，|123456|取得最小值0.考虑到56，56有相关性，要确保所求模最大，只需使|1356|，|2456|尽可能取到最大值，即当13562，24564时可取到最大值，|123456|的最大值为2.答案02一、填空题1.如图，已知在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC的中点，若向量m，且的终点M在ACD的
9、内部(不含边界)，则的取值范围是_.解析()1616m216m23，由平行四边形法则可得m，所以的取值范围是(2，6).答案(2，6)2.(2019徐州模拟)在ABC中，AB5，AC4，且12，设P是平面ABC上的一点，则()的最小值是_.解析由AB5，AC4，且12，得cos A，如图，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(4，0)，B(3，4).设点P的坐标为P(x，y)，则()(x，y)(72x，42y)2x27x2y24y22(y1)2，故()的最小值是(当且仅当x，y1时取得).答案3.(2018扬州中学模拟)如图，已知ACBC4，ACB90，M为BC的中点，D为以
10、AC为直径的圆上一动点，则的最小值是_.解析以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2，0)，C(2，0)，O(0，0)，M(2，2).设D(2cos ，2sin )，(4，2)，(22cos ，2sin )，4(22cos )4sin 84sin()，其中tan 2.sin()1，1，()min84.答案844.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.解析法一在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且
11、仅当，即时，取得最小值为.法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，0，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.答案5.设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_.解析令Q(c，d)，由新的运算，可得mn，消去x，得dsin，yf(x)sin，易知yf(x)的值域是.答案6.(2019南通调研)已知x，y满足若(x，1)，(2，y)，且的最大值
12、是最小值的8倍，则实数a的值是_.解析因为(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.答案7.(2018天津卷改编)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为_.解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD120，所以A(0，0)，B(1，0)，D.
13、设C(1，m)，E(x，y)，所以 ，.因为ADCD，所以0，则0，解得m，即C(1，).因为E在CD上，所以y.由kCEkCD，得，即xy2.因为(x，y)，(x1，y)，所以(x，y)(x1，y)x2xy2(y2)2y2y24y25y6.令f(y)4y25y6，y.因为函数f(y)4y25y6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min4 256.所以的最小值为.答案8.(2018南通、泰州调研)已知矩形ABCD的边AB2，AD1.点P，Q分别在边BC，CD上，且PAQ，则的最小值为_.解析法一(坐标法)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，
14、0)，B(2，0)，D(0，1).设PAB，则(2，2tan )，0tan .因为(2，2tan )2tan2tan 2tan 2tan 22(tan 1)444，当且仅当tan 1时，“”成立，所以的最小值为44.法二(基底法)设BPx，DQy，由已知得，tanPAB，tanQADy，由已知得PABQAD，所以1，所以1，x2y2xy2，解得0xy64，当且仅当x2y时，“”成立.|cosPAQ2xy44.答案44二、解答题9.(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解
15、(1)ab，3sin xcos x，3sin xcos x0，2sin0，即sin0.0x，x，x，x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0，x，sin1，2f(x)3，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.10.(2019苏、锡、常、镇调研)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求f(A)的取值范围.解mnsin cos cos2sin cos sin.(1)mn1，sin，cos12sin2，coscos.(2)(2ac
16、)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC).ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B.0A.，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin，故1f(A).故f(A)的取值范围是.11.(2019如皋市高三二模)如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点(点P在Q右侧)，点O为半圆的圆心，已知AB2，BOP，POQ.(1)若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cos 的值；(2)若PQ1，求的取
17、值范围.解(1)依题意，半圆O的半径为1，点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，点P在y轴上方，所以cos ，sin().所以sin ，cos().因为点Q在点P的左侧，所以cos()，故cos()，故cos cos()cos()cos sin()sin .(2)因为PQ1，所以POQ是正三角形，故.所以点P的坐标为(cos ，sin )，点Q的坐标为，又点A，B的坐标分别为(1，0)，(1，0)，故，(cos 1，sin ).所以(cos 1)sinsin coscos sinsin cos cos1coscos cos sin 1cos sin sin.因为0，所以，sin，所以sin，即的取值范围为.高考资源网版权所有，侵权必究！
