1、第六练一、选择题 1.(2019天津改编)设x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为()A.33B.43C.6D.7答案Bx+2y=5,x0,y0,(x+1)(2y+1)xy=x+2y+2xy+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1或x=2,y=32时,原式取得最小值43.2.(2018陕西宝鸡中学校级期中,9)已知等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,若S3、S9、S6成等差数列,则q3等于()A.-12B.1C.-12或1D.-1或12答案A若S3、S9、S6成等差数列,则S3+S6=2
2、S9,易知q1,则a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,即1-q3+1-q6=2-2q9,即q3+q6=2q9,即1+q3=2q6,即2(q3)2-q3-1=0,解得q3=-12,故选A.3.已知函数f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x0,若f(a-1)f(-a2+1),则实数a的取值范围是()A.-2,1B.-1,2C.(-,-21,+)D.(-,-12,+)答案A因为f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x0在区间(-,+)上单调递减,所以不等式f(a-1)f(-a2+1)同解于不等式a-1-a2+1,即a2+a-20,解得-2a1,故选A.
3、4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(1,a)(a0)在C上,|AF|=3.若直线AF与C交于另一点B,则|AB|的值是()A.12B.10C.9D.4.5答案C解法一:因为A(1,a)(a0)在抛物线C上,所以a2=8,解得a=22或a=-22(舍去),故直线AF的方程为y=-22(x-2),与抛物线的方程联立,消去y,可得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,由抛物线的定义,得|BF|=4+2=6,又|AF|=3,所以|AB|=|AF|+|BF|=9,故选C.解法二:因为直线AB过焦点F,所以xAxB=14p2=4,又xA=1,所以xB=4,所以|AB|=|AF|+|BF|=
4、xA+xB+4=9,故选C.二、填空题5.已知e1,e2为单位向量且夹角为23,设a=3e1+2e2,b=3e2,则a在b方向上的投影为.答案12解析因为a=3e1+2e2,b=3e2,所以ab=(3e1+2e2)3e2=9e1e2+6e22=911cos23+6=32,易知|b|=3,所以a在b方向上的投影为ab|b|=323=12.6.正四面体ABCD中,E是AD的中点,P是棱AC上一动点,BP+PE的最小值为14,则该四面体的体积为.答案83解析由题意,将侧面ABC和ACD沿AC边展开成平面图形,如图所示.设正四面体的棱长为a,则BP+PE的最小值为BE=a2+a24-2aa2cos12
5、0=72a=14,解得a=2 2,所以正四面体的高为8-2632=43 3,所以正四面体的体积为1334843 3=83.三、解答题7.如图,在平面四边形ABCD中,ABC=34,ABAD,AB=1.(1)若AC=5,求ABC的面积;(2)若ADC=6,CD=4,求sinCAD.解析(1)在ABC中,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,代入ABC=34,得5=1+BC2+2BC,解得BC=2,所以SABC=12ABBCsinABC=121222=12.(2)设CAD=,在ACD中,由正弦定理得,ACsinADC=CDsinCAD,将ADC=6,CD=4代入,得ACsi
6、n6=4sin,在ABC中,BAC=2-,BCA=-34-2-=-4,由正弦定理得ACsinABC=ABsinBCA,即ACsin34=1sin-4,两式相除,得sin34sin6=4sin1sin-4,即422sin-22cos=2sin ,整理得sin =2cos .又sin2+cos2=1,故sin =255,即sinCAD=255.8.某学校高三年级共有4个班,其中实验班和普通班各2个,且各班学生人数大致相当.在高三第一次数学统一测试(满分100分)的成绩揭晓后,教师对这4个班的数学成绩进行了统计分析,其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标.根据该校的实际情况,规定其具体含义如下:难度
7、=4个班的平均分100,区分度=实验班的平均分-普通班的平均分100.(1)现从这4个班中各随机选取5名学生,根据这20名学生的数学成绩,绘制茎叶图如下:实验班普通班612267012344742328815309请根据以上样本数据,估计该次考试试题的难度和区分度;(2)为了研究试题的区分度与难度的关系,调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据,得到下表:考试序号123456难度x0.650.710.730.760.770.82区分度y0.120.160.160.190.200.13用公式r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2计算区分度y与难度x之间
8、的相关系数r(精确到0.001);判断y与x之间相关关系的强与弱,并说明是否适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系.参考数据:i=16xiyi=0.713 4,i=16(xi-x)2i=16(yi-y)20.009 2.解析(1)由茎叶图知,实验班这10人的数学总成绩为860分,普通班这10人的数学总成绩为700分,故这20人的数学平均成绩为860+70020=78(分),由此估计这4个班的平均分为78分,所以难度=78100=0.78.由86010=86估计实验班的平均分为86分,由70010=70估计普通班的平均分为70分,所以区分度=86-70100=0.16.(1)由于i=1n(xi-
9、x)(yi-y)=i=1n(xiyi-yxi-xyi+x y)=i=1nxiyi-yi=1nxi-xi=1nyi+nx y=i=1nxiyi-nx y-nx y+nx y=i=1nxiyi-nx y,且i=16xiyi=0.713 4,i=16(xi-x)2i=16(yi-y)20.009 2,所以r=i=16(xi-x)(yi-y)i=16(xi-x)2i=16(yi-y)2=i=16xiyi-6x yi=16(xi-x)2i=16(yi-y)2=0.713 4-0.710 40.009 20.326.由于r0.3260.30,0.75),故两者之间的相关性非常一般,不适宜用线性回归模型拟合y与x之间的关系,即使用线性回归模型来拟合,效果不理想.
