1、一、填空题1.等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是_.解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求.当q1时，a1q27，21，解之得，q或q1(舍去).综上可知，q1或.答案1或2.过双曲线1(a0，b0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则的值为_.解析当直线PQ与x轴重合时，|a.答案a23.方程sin2xcos xk0有解，则k的取值范围是_.解析求ksin2xcos x的值域.kcos2xcos x1.当cos x时，kmin，当cos x1时，kmax1，k1.答案4.若数列an的前n项和Sn3n1，则它的通项公式an_.
2、解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12，也满足式子an23n1，数列an的通项公式为an23n1.答案23n15.已知a为正常数，若不等式1对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为_.解析原不等式即1(x0)，(*)令t，t1，则xt21，所以(*)式可化为1t对t1恒成立，所以1对t1恒成立，又a为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.答案46.已知ABC和点M满足0.若存在实数k使得k成立，则k等于_.解析0，M为已知ABC的重心，取AB的中点D，223，k，k3.答案37.设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2
3、是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，则的值为_.解析若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.综上所述，2或.答案2或8.已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意的x1(0，2)，任意的x21，2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是_.解析依题意，问题等价于f(x1)ming(x2)max，f(x)ln xx1(x0)，所以f(x).由f(x)0，解得1x3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减
4、区间是(0，1)和(3，)，故在区间(0，2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)minf(1).函数g(x2)x2bx24，x21，2.当b1时，g(x2)maxg(1)2b5；当1b2时，g(x2)maxg(b)b24；当b2时，g(x2)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是.答案二、解答题9.数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解(1)an22an1an0，所以an2an1an
5、1an，所以an1an为常数列，所以an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，a4a13d，所以d2，所以an102n.(2)因为an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0.所以当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tnn29n40，Tna1a2an，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.所以Sn10.已知函数g(x)(aR)，f(x)ln(x1)g(x).(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性.解(1)因为
6、函数g(x)过点(1，1)，所以1，解得a2，所以f(x)ln(x1).由f(x)，则f(0)3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y3x.(2)因为f(x)ln(x1)(x1)，所以f(x).当a0时，因为x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，由得1x1a，故f(x)在(1，1a)上单调递减；由得x1a，故f(x)在(1a，)上单调递增.综上，当a0时，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在(1，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增.11.已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点F重合
7、，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b1.可求得a2，故椭圆的方程为y21.(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为yk(x1).由得(4k21)x28k2x4k240，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，解上述方程后易得：x1x2，x1x2.则(mx1，y1)，(mx2，y2)，所以(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2(4m28m1).要使为定值，令2m0，即m，此时.当直线l的斜率不存在时，不妨取P，Q，由E，可得，所以.综上，存在点E，使为定值.
