1、2015-2016学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx3如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+）+k据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A5B6C8D104设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C
2、9D125若A=xZ|222x8，B=xR|log2x|1，则A（RB）的元素个数是（）A0B1C2D36函数f（x）与的图象与图象关于直线y=x对称，则的f（4x2）的单调增区间是（）A（，0B0，+）C（2，0D0，2）7将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD8如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）ABCD9设函数f（
3、x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）10如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x211已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba12已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，
4、2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=14若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于15若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是16设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知 tan=2（1）求tan（+）的值；（2）求的值18已知函数f（x）=sin2xsin2（x），xR（1）求f（
5、x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值19已知全集U=R，A=x|x1|1，B为函数的定义域，C为g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域；（1）AB；CU（AB）（2）若CB，求实数a的取值范围20已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在0，2）内有两个不同的解，求实数m的取值范围；请用m的式子表示cos（）21设f（x）是定义在R上的函
6、数，对任意实数m、n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且当x0时，f（x）1（1）证明：f（0）=1；当x0时，0f（x）1；f（x）是R上的减函数；（2）设aR，试解关于x的不等式f（x23ax+1）f（3x+6a+1）122已知y=f（x）（xD，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：函数f（x）在D内单调递增或单调递减；如果存在区间a，bD，使函数f（x）在区间a，b上的值域为a，b，那么称y=f（x），xD为闭函数；请解答以下问题：（1）求闭函数y=x3符合条件的区间a，b；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围2015-2016学年四川省
7、成都七中高一（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案【解答】解：f（x）=与y=的对应法则和值域不同，故不是同一函数=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f（x）=x0与都可化为y=1且定义域是x|x0，故是同一函数f（x）=x22x1与g（t）=t2
8、2t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是故选C2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（x）=sinx，是奇函数；对于D，cos（x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+）+k据此函数可知，这段
9、时间水深（单位：m）的最大值为（）A5B6C8D10【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值【解答】解：由题意可得当sin（x+）取最小值1时，函数取最小值ymin=3+k=2，解得k=5，y=3sin（x+）+5，当当sin（x+）取最大值1时，函数取最大值ymax=3+5=8，故选：C4设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D12【考点】函数的值【分析】先求f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和【解答】解：函数f（x）=，即有f（2）=1
10、+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）=12=6，则有f（2）+f（log212）=3+6=9故选C5若A=xZ|222x8，B=xR|log2x|1，则A（RB）的元素个数是（）A0B1C2D3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：集合A中的不等式变形得：2122x23，12x3，解得：1x1，即x=0，1，A=0，1，集合B中的不等式|log2x|1，变形得：log2x1=log22或log2x1=log2，解得：x2或0x，即B=x|x2或0x，全集为R，RB=x|x
11、0或x2，则A（RB）=0，1，即元素个数是2个故选C6函数f（x）与的图象与图象关于直线y=x对称，则的f（4x2）的单调增区间是（）A（，0B0，+）C（2，0D0，2）【考点】反函数；函数的单调性及单调区间【分析】函数f（x）是g（x）=的反函数，求出f（4x2）的解析式，确定单调减区间【解答】解：函数f（x）与g（x）=的图象关于直线y=x对称，函数f（x）是g（x）=的反函数，f（x）=，f（4x2）=又 4x20，2x2，f（4x2）的增区间0，2）故选D7将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，
12、有|x1x2|min=，则=（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D8如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中
13、点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）ABCD【考点】正切函数的图象【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可【解答】解：当0x时，BP=tanx，AP=，此时f（x）=+tanx，0x，此时单调递增，当P在CD边上运动时，x且x时，如图所示，tanPOB=tan（POQ）=tanx=tanPOQ=，OQ=，PD=AOOQ=1+，PC=BO+OQ=1，PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，x，PA+PB=tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）f（），且轨迹
14、为非线型，排除A，C，D，故选：B9设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）=ln（1+|x|）为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x），导数为f（x）=+0，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得：x1，所求x的取值范围是（，1）故选：B10如图，函数f（x）的图象
15、为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【考点】指、对数不等式的解法【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+1）的x范围是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选C11已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbC
16、cabDcba【考点】函数单调性的性质【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=
17、f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：C12已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=b，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（
18、x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x2，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，当x2时，h（x）=x25x+8=（x）2+，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足b2，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19、13若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】由题意可得，f（x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：f（x）=xln（x+）为偶函数，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1故答案为：114若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于1【考点】抽象函数及其应用【分析】先由f（1+x）=f（1x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，
20、再根据题中所给单调区间，求出m1【解答】解：因为f（1+x）=f（1x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|xa|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x1|，且该函数在（，1上单调递减，在1，+）上单调递增，又因为函数f（x）在m，+）上单调递增，所以，m1，即实数m的最小值为1故答案为：115若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（1，2【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】当x2时，满足f（x）4当x2时，由f（x）=3+logax4，即logax1，故有loga21，由此求得a的范围，综合可得结论【
21、解答】解：由于函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），故当x2时，满足f（x）=6x4当x2时，由f（x）=3+logax4，logax1，loga21，1a2综上可得，1a2，故答案为：（1，216设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为1；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a1或a2【考点】函数的零点；分段函数的应用【分析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：当a=1时，f（x）=，当x1时，f（x）=2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）=4（
22、x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，当1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=1，设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2
23、a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知 tan=2（1）求tan（+）的值；（2）求的值【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可（2）利用二倍角公式化简求解即可【解答】解：tan=2（1）tan（+）=3；（2）=118已知函数f（x）=sin2xsin2（x），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的
24、最小正周期可求；（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值【解答】解：（1）f（x）=sin2xsin2（x）=f（x）的最小正周期T=；（2）x，2x，则2x， 故f（x）在区间，上的最大值和最小值分别为19已知全集U=R，A=x|x1|1，B为函数的定义域，C为g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域；（1）AB；CU（AB）（2）若CB，求实数a的取值范围【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算【分析】（1）根据含有绝对值不等式的解法求得集合A，根据偶次开方的被开方数为非负得到B，可以求出集合AB；CU（AB）；（2）先对集合C进行曲
25、化简，函数g（x）的自变量x应满足不等式（xa1）（2ax）0即C=x|2axa+1，根据集合C是集合B的子集，即可求出a的范围；【解答】解：（1）解|x1|1得：x0或x2A=x|x0，或x2；函数f（x）的自变量x应满足，即x1或x1B=x|x1，或x1；AB=x|x1，或x2，AB=x|x0，或x1，CU（AB）=x|0x1（2）函数g（x）的自变量x应满足不等式（xa1）（2ax）0又由a1，2axa+1C=x|2axa+1CBa+11或2a1a2或，又a1a的取值范围为a2或20已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长
26、到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在0，2）内有两个不同的解，求实数m的取值范围；请用m的式子表示cos（）【考点】两角和与差的余弦函数；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）由函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+）（其中sin=，cos=），从而可求|1，即可得解由题意可得sin（+）=，sin（+）=当1m时，可求=2（+），当m0时
27、，可求=32（+），由cos（）=2sin2（+）1，从而得证【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k+（kZ）（2）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+）（其中sin=，cos=）依题意，sin（x+）=在区间0，2）内有两个不同的解，当且仅当|1，故m的取值范围是（，）因为，是方程sin（x+）=m在区间0，2）内的两个不同的解，所以sin（+
28、）=，sin（+）=当1m时，+=2（），即=2（+）；当m1时，+=2（），即=32（+）；所以cos（）=cos2（+）=2sin2（+）1=2（）21=21设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且当x0时，f（x）1（1）证明：f（0）=1；当x0时，0f（x）1；f（x）是R上的减函数；（2）设aR，试解关于x的不等式f（x23ax+1）f（3x+6a+1）1【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质【分析】（1）令m=n=0，即可求得f（0）=1；利用当x0时，f（x）1与f（0）=1即可证得当x0时，0f（x）1；任取x1x2，可求得f
29、（x1x2）=1f（x1）f（x2），从而可证y=f（x）在定义域R上为减函数；（2）逆用已知f（m）f（n）=f（m+n），将f（x23ax+1）f（3x+6a+1）1转化为x23（a+1）x+2（3a+1）0，再解此不等式即可【解答】解：（1）证明：在f（m）f（n）=f（m+n）中，令m=n=0得f（0）f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）f（0）f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0，则当x0时，有f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）=0，与题设矛盾，f（0）=1当x0时，x0，由已知得f（x）1，又f（0）=fx+（x）=f（x）f（x）=1，f（x）1，0f（x）=1
30、，即x0时，0f（x）1任取x1x2，则f（x1）=f（x1x2+x2）=f（x1x2）f（x2），x1x20，f（x1x2）1，又由（1）（2）及已知条件知f（x2）0，f（x1x2）=1f（x1）f（x2），y=f（x）在定义域R上为减函数（2）f（x23ax+1）f（3x+6a+1）=f（x23ax+13x+6a+1）=fx23（a+1）x+2（3a+1）又f（0）=1，f（x）在R上单调递减，原不等式等价于x23（a+1）x+2（3a+1）0不等式可化为（x2）x（3a+1）0当23a+1，即a时，不等式的解集为x|2x3a+1；当2=3a+1，即a=时，（x2）20，不等式的解集为2
31、；当23a+1，即a时，不等式的解集为x|3a+1x222已知y=f（x）（xD，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：函数f（x）在D内单调递增或单调递减；如果存在区间a，bD，使函数f（x）在区间a，b上的值域为a，b，那么称y=f（x），xD为闭函数；请解答以下问题：（1）求闭函数y=x3符合条件的区间a，b；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）确定y=x3是R上的减函数，可得a+b=0，又ba，即可得出结论；（2）当在上单调递减，在上单调递增，可得结论；（3）易知是（0，+）上的增函数，符合条件；设函
32、数符合条件的区间为a，b，则，利用条件，可得结论【解答】解：（1）先证y=x3符合条件：对于任意x1，x2R，且x1x2，有=，y1y2，故y=x3是R上的减函数由题可得：则（a+b）=（a3+b3），（a+b）a2ab+b2+1=0而，a+b=0，又ba，a=1，b=1所求区间为1，1（2）当在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数（3）易知是（0，+）上的增函数，符合条件；设函数符合条件的区间为a，b，则；故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；设x1，x2为方程x2（2k+1）x+k2=0的二根，则，解得：，k的取值范围2016年10月23日
