星期三(解析几何)2017年_月_日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分15分)已知椭圆M：1(b0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为42.(1)求椭圆M的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围.解(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为42，所以2a2c42，又a2b，所以cb，所以b1，则a2，c.所以椭圆M的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2，故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，又m0，所以k2，即k，由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22且m21.则SOPQ|y1y2|2m|x1x2|m|m|，所以SOPQ的取值范围为(0，1).
