1、高考资源网() 您身边的高考专家1.(2016山东卷)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC;(2)已知EFFBAC2,ABBC,求二面角FBCA的余弦值. (1)证明设FC中点为I,连接GI,HI,在CEF中,因为点G是CE的中点,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC,又HIGII,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.(2)解连接OO,则OO平面ABC.又ABBC,且AC是圆O的直径,所以BOAC.以O为
2、坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2,0),C(2,0,0).过点F作FM垂直OB于点M,所以FM3,可得F(0,3).故(2,2,0),(0,3).设m(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.由可得可得平面BCF的一个法向量m,因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1),所以cosm,n.所以二面角FBCA的余弦值为.2.(2015山东卷)如图,在三棱台DEFABC中,AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CFDE, BAC45 ,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明法一连
3、接DG,CD,设CDGFO,连接OH,在三棱台DEFABC中,AB2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DFGC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.法二在三棱台DEFABC中,由BC2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BHEF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHFH,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解设AB2,则CF1.在三棱台DEFABC中,G为AC的中点,由DFACG
4、C,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC,又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC45,G是AC中点.所以ABBC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1).可得H,F(0,1),故,(0,1).设n(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n(1,1,).因为是平面ACFD的一个法向量,(,0,0).所以cos,n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.3.(2016四川卷)如图,在四棱
5、锥PABCD中,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD.E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角PCDA的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE.所以CM平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得APPN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知,CDPA
6、,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.由PAAB,可得PA平面ABCD.设BC1,则在RtPAD中,PAAD2.作AyAD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).所以(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2).设平面PCE的法向量为n(x,y,z).由得设x2,解得n(2,2,1).设直线PA与平面PCE所成角为,则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.法二由已知,CDPA,CDAD,
7、PAADA,所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.设BC1,则在RtPAD中,PAAD2.过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA平面ABCD,从而PACE.且PAAHA,于是CE平面PAH.又CE平面PCE,所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q,则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中,AEH45,AE1,所以AH.在RtPAH中,PH.所以sinAPH.4.(2016浙江卷)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB90,BEEFFC1,BC2,AC3.(1)求证:BF
8、平面ACFD;(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BEEFFC1,BC2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK,且CKACC,所以BF平面ACFD.(2)解法一如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则BCK为等边三角形.取BC的中点O,连接KO,则KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以KO平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0),C(1,0,0),
9、K(0,0,),A(1,3,0),E,F.因此,(0,3,0),(1,3,),(2,3,0).设平面ACK的法向量为m(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n(x2,y2,z2).由得取m(,0,1);由得取n(3,2,).于是,cosm,n.所以,二面角BADF的平面角的余弦值为.法二过点F作FQAK于Q,连接BQ.因为BF平面ACK,所以BFAK,则AK平面BQF,所以BQAK.所以BQF是二面角BADF的平面角.在RtACK中,AC3,CK2,得AK,FQ.在RtBQF中,FQ,BF,得cosBQF.所以,二面角BADF的平面角的余弦值为.5.(2016广州二模)如图,ABC和BCD
10、所在平面互相垂直,且ABBCBD2,ABCDBC120,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EFBC;(2)求二面角EBFC的正弦值.法一(1)证明由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,1,),D(,1,0),C(0,2,0).因而E(0,),F,所以,(0,2,0),因此0.从而,所以EFBC.(2)解平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1).设平面BEF的法向量n2(x,y,z),又,.由得其中一个n2(1,1).设二面角EBFC大小为
11、,且由题意知为锐角,则cosn1,n2,cos ,因此sin ,即所求二面角的正弦值为.法二(1)证明过E作EOBC,垂足为O,连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOCFOC,即FOBC.又EOBC,EOFOO,EO,FO平面EFO,因此BC平面EFO,又EF平面EFO,所以EFBC.(2)解过O作OGBF,垂足为G,连接EG.由平面ABC平面BDC,从而EO平面BDC,BF平面BDC,BFEO,又OGBF,又EOOGO,所以BF平面EOG,又EG平面EOG,所以EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角.在EOC中,EOECBCcos 30,由BGOBFC知,OGFC,因此t
12、anEGO2,从而sinEGO,即二面角EBFC的正弦值为.6.(2016北京二模)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:ABFG;(2)若PA底面ABCDE,且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.(1)证明在正方形AMDE 中,因为B是AM的中点,所以ABDE.又因为AB平面PDE,DE平面PDE,所以AB平面PDE.因为AB平面ABF,且平面ABF平面PDEFG,所以ABFG.(2)解因为PA底面ABCDE,所以PAAB,PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),(1,1,0).设平面ABF的法向量为n(x,y,z),则即令z1,则y1. 所以n(0,1,1).设直线BC与平面ABF所成角为,则cosn,.sin ,因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设(01),即(u,v,w2)(2,1,2),所以u2,v,w22.因为n是平面ABF的法向量,所以n0,即(0,1,1)(2,22)0.解得,所以点H的坐标为.所以PH2.- 9 - 版权所有高考资源网