1、2011高考数学萃取精华30套（3）1. 台州二模(20)（本题满分分）数列中，当时，其前项的和满足.（）证明：数列是等差数列；（）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.(20)解（）即是1为首项，1为公差的等差数列. 7分 （）由（）知， ,所以满足的最小正整数为10. 14分(21)（本题满分分）已知函数（）求函数的极值；（）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围.(21)解: （），令1_0+减1增所以的极小值为1,无极大值. 7分（）,若 当时，；当时， 故在上递减，在上递增 10分所以实数 的取值范围是 15分(22)（本题满分分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直
2、线的距离小 （）求曲线的方程；（）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、（）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；（）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在,求出点 坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:（） 曲线的方程 5分（）（）设，整理得：同理可得： 又 10分（）由（）知中点，当时，则的中垂线方程为的中垂线与直线的交点若为等边三角形，则解得此时,当时，经检验不存在满足条件的点综上可得：满足条件的点存在，坐标为. 15分2. 树德一模20（本题满分12分）已知实数，函数有极大值32.（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间.20 解（）令，得或2.函数
3、有极大值32， 在时取得极大值. 解得当时，当时， 在时，有极大值32. 时函数有极大值32. 7分（）由得或 函数的单调增区间是（；单调减区间是（21（本题满分12分）已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。 (I)求曲线的方程；(II)设为曲线与轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为的直线，与曲线相交于两点，使，且与夹角为?若存在，求出值，并写出直线的方程；若不存在，请说明理由。21. 解：()设为曲线上任意一点，依题意(2分)化简：，为椭圆，其方程为(4分)()设直线， 由 消去得： (6分)设，中点，则， = ( 1)依题意：，与夹角为，为等边三角形，即，（2） 由（2）代
4、入（1）：，又为等边三角形，到距离，即 解得： ，经检验,使方程有解，所以直线的方程为： (12分)22 （本题满分14分）已知数列的前项和，且，其中， （1）求，并猜想数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足，为的前项和，求证：；22.（1） 4分（2）已知式即, 故 因为, 当然, 所以. 由于, 且, 故. 于是, , 所以.8分(3) 由, 得, 故. 从而. .因此设故.注意到, 所以.特别地, 从而.所以.14分 . 14分.3. 石景山一模18（本题满分13分）在数列中， （1）求的值； （2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）求数列。18（本题满
5、分13分） （1）解： 2分 4分 （2）证明：是首项为，公比为-1的等比数列。 7分，即的通项公式为所以当是奇数时， 10分当是偶数时， 12分综上， 13分19（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。19（本题满分14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意解得由 2分所求椭圆方程为 3分 （2）设，其坐标满足方程消去并整理得 4分则（*） 5分故 6分经检验满足式（*）式 8分 （3）由已知，可得 9分将代入椭圆方程，来源:高&考%资(源#网整
6、理得 10分来源:高&考%资(源#网来源:高&考%资(源#网KS5U.COM 11分 12分当且仅当，即时等号成立，经检验，满足（*）式当时， 综上可知13分当|AB最大时，的面积最大值 14分20（本题满分13分）已知函数 （1）若，求曲线处的切线； （2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。20（本题满分13分）解：（1）当时，函数曲线在点处的切线的斜率为 1分从而曲线在点处的切线方程为即 （2） 3分令，要使在定义域（0，）内是增函只需在（0，+）内恒成立 4分由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需时，在（0，+）内为增函数，正实数的取值范围是 6分 （3）上是减函数，时，即 1分当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，且，所以内是减函数。当时，在因为，所以此时，内是减函数。故当时，上单调递减，不合题意；当时，由所以又由（2）知当时，上是增函数，不合题意； 11分当时，由（2）知上是增函数，又上是减函数，故只需而即解得，所以实数的取值范围是。 13分注：另有其它解法，请酌情给分。
