1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 必备知识自主学习 1.二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin 2=_(S2).(2)cos 2=cos2-sin2=_=1-2sin2(C2).(3)tan 2=_(T2).2sin cos 2cos2-1 22tan1tan【思考】(1)所谓的“二倍角”公式,就是角 与2 之间的转化关系,对吗?提示:不对.对于“二倍角”应该广义的理解,如:8是4的二倍角,3是 的二倍角,是 的二倍角,是 的二倍角,这里蕴含 着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.32224(2)公式中的角 是任意角吗?提示:对于公式S2,C2 中的角 是
2、任意角,但是T2 中的角 要保证tan 有意义且分母1-tan2 0.2.二倍角公式的变换(1)因式分解变换 cos 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ).(2)配方变换 1sin 2=sin2+cos2 2sin cos =(sin cos )2.(3)升幂缩角变换 1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(4)降幂扩角变换 cos2=(1+cos 2),sin2=(1-cos 2),sin cos =sin 2.121212【思考】如何在倍角公式中用2 解题?提示:(1)sin 2=2cos2 -1=1-2sin2 .(2)cos 2=sin
3、 =sin =2sin cos .(3)cos 2=sin =sin =2sin cos .2()24 cos(2)cos2()24()4()4(2)22()4()4()4(2)2+2()4+()4+()4+【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)二倍角的正切公式的适用范围不是任意角.()(2)对于任意的角,都有sin 2=2sin 成立.()(3)存在角,cos 2=2cos 成立.()(4)cos 3 sin 3=sin 6 对任意的角 都成立.()122.(教材二次开发:练习改编)sin 75cos 75=_.【解析】由已知得:sin 75cos 75=2sin 75co
4、s 75=sin 150=.答案:141412123.若tan 2=2,则tan 4=_.【解析】tan 4=答案:-22tan 22 24.1 tan 21 43 43关键能力合作学习 类型一 二倍角公式的正用、逆用(直观想象、数学运算)【题组训练】1.(2020全国卷)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()2.sin 10sin 30sin 50sin 70=_.3.计算:=_.21tan 12tan125215A.B.C.D.3339【解题策略】二倍角公式的正用、逆用解题的关注点(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.
5、(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.【补偿训练】1.(2019全国卷)已知 ,2sin 2=cos 2+1,则sin =()【解析】选B.因为2sin 2=cos 2+1,所以4sin cos=2cos2,因为 ,所以cos 0,sin 0,所以2sin=cos,又sin2+cos2=1,所以5sin2=1,sin2=,又sin 0,所以sin=.(0)2，1532 5A.B.C.D.5535(0)2，15552.(2020郑州高一检测)求下列各式的值.(1)1-2sin2750.(2)(3)22tan 150.1tan 1502coscos.55类型二 条
6、件求值(逻辑推理、数学运算)【典例】1.(2020承德高一检测)已知sin 则cos 的值等于()2.已知 的值为_.3.(2019江苏高考)已知 的值是_.1()63，2(2)37171A.B.C.D.93935cos 2xsin(x)0 x4134cos(x)4，则tan2sin(2)34tan()4 ，则【思路导引】1.分析角 的关系.2.分析 -x与 +x,与2x的关系或先化简目标或再找与已知条件间的关系.3.先利用和角的正切公式由已知条件求出tan 的值,再用和角正弦公式将 sin 展开,升幂后,弦化切,代入求值.2263 与44(2)4【解题策略】解决条件求值问题的方法(1)有方向
7、地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到 x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.4【补偿训练】1.已知sin ,那么cos =()【解析】选A.由题意有:=1-2sin2 2()33 (2)3 5225A.B.C.D.9339 2cos(2)cos2()33 5()39 ，2cos(2)cos(2)3325cos(2).39 故2.已知 =_.【解析】所以0 -,又cos 所以 所以原式=2 答案:12cos 2cos()(0)4134sin()4 ，则sin(2)cos 222co
8、s()4sin()sin()44 2cos()2sin()02444 ，因为，4412()413 ，22125sin()1 cos()1()441313 ，510.13131013类型三 二倍角公式的化简、证明问题(逻辑推理)角度1 恒等式证明问题 【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.【思路导引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.【变式探究】将本例改为:求证:(sincos1)(sincos1)tansin 22角度2 化简问题 【典例】化简:(1)(2)【思路导引】(1)化2 为,消去1提公因式,约分结
9、论.(2)1cos 2sin 2.1cos 2sin 23tan 123.sin 12(4cos2122)【解题策略】1.三角函数式的化简原则 一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤 先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【题组训练】1.(2020日照高一检测)化
10、简:(1),则 =_.(2)为第三象限角,则 =_.421sin 21cos 21cos 2cossin2.求证:tan2x+2123cos 4x.tan x1cos 4x（）【补偿训练】1.化简:(1),其中 .(2),其中(0,).1111 cos 222223(2)2，1 sin1 sin 2.求证:cos2(1-tan2)=cos 2.【证明】方法一:左边=cos2 =cos2-sin2=cos 2=右边.方法二:右边=cos 2=cos2-sin2=cos2 =cos2(1-tan2)=左边.22sin(1)cos22sin(1)cos【拓展延伸】万能公式:(1)cos 2=,(2)
11、sin 2=(3)tan 2=公式(1),(2)的推导:(1)cos 2=cos2-sin2=(2)sin 2=2sin cos =221tan1tan22tan1tan，22tan.1tan222222cossin1tan.cossin1tan 2222sin cos2tan.sincos1tan【拓展训练】已知 =-5,求3cos 2+4sin 2 的值.【解析】因为 =-5,所以 =-5,所以tan=2.所以3cos 2+4sin 2=2sincossin3cos 2sincossin3cos 2tan1tan3 2222223(1tan)4 2tan31 24 2 27.1tan1ta
12、n12125（）【补偿训练】化简 【解析】原式=11.tan1tan1tan1tan1(tan1)(tan1)222tan2tantan 2.tan11tan备选类型 二倍角在三角函数中的应用(数学运算、数学建模)【典例】求函数f(x)=5 cos2x+sin2x-4sin xcos x,x 的最小值,并求其单调递减区间.【思路导引】3374 24，【解题策略】此类型题目考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=Asin(x+)的形式,再利用函数图象解决问题.【跟踪训练】(2020彰化高一检测)求函数y=sin4x+2 sin xcos x
13、-cos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在0,上的单调递减区间.31.sin 2230cos 2230的值为()【解析】选B.原式=课堂检测素养达标 2221A.B.C.D.242212sin 45.242.(教材二次开发:练习改编)已知sin x=,则cos 2x的值为()【解析】选A.因为sin x=,所以cos 2x=1-2sin2x=1-2 7112A.B.C.D.88221414217().483.(2020大同高一检测)已知tan =-,则 =_.【解析】答案:-132sin 2cos1cos 222222sin 2cos2sin coscos2sin coscos15tan
14、.1cos 212cos12cos26 564.设sin 2=-sin ,则tan 2 的值是_.【解析】因为sin 2=-sin,所以2sin cos=-sin,又 ,所以sin 0,所以cos=-,所以=,则tan 2=tan 答案:()2，()2，122343.3 35.已知sin cos =,求cos sin 的最值.【解析】设t=cos sin,又sin cos=,所以sin cos cos sin=,即sin 2sin 2=2t.因为|sin 2 sin 2|1,所以|2t|1,所以-t (等号显然可以取到),所以cos sin 的最小值为-,最大值为 .1212t212121212
