1、高考资源网（） 您身边的高考专家每日一题规范练(第二周)题目1 已知an是公差不为0的等差数列，且满足a12，a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan2an，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设an的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，所以aa1a7.所以(a12d)2a1(a16d)，则4d22a1d0.由d0，a12，得d1，所以ann1.(2)由(1)知，bnan2ann12n1，所以Sn234(n1)(2223242n1)2n2.题目2 设函数f(x)sin(x)的图象的一个对称中心为，且图象上最高点与相邻最低点的距离为 .(1)求和的值；(2)若
2、f ，求cos的值解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为 ，得1212，所以2.因为函数f(x)sin(x)的图象的一个对称中心为，所以2k，kZ.又，所以取.(2)由(1)知，f(x)sin，所以f sinsin .则sin ，所以sin .由于0，得cos ，因此cos(cos sin ).题目3 (2019英才大联考)如图，在棱长为1的正方体PB1N1D1-ABND中，动点C在线段BN上运动，且有(01)(1)若1，求证：PCBD；(2)若二面角B-PC-D的平面角的余弦值为，求实数的值(1)证明：当1时，C与N重合，连接AN.则在正方形ABND中，BDAN.又在正方体中，P
3、A底面ABND，而BD平面ABND，所以PABD.又PAANA，所以BD平面PANN1.由于PN平面PANN1，所以PNBD.因此PCBD.(2)解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则C(1，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，1，0)(1，1)，(1，0，1)，(0，1，1)设平面PBC的一个法向量n1(x1，y1，z1)则即取z11得n1(1，0，1)设平面PCD的一个法向量n2(x2，y2，z2)则即取z21得n2(1，1，1)所以|cosn1，n2|.解得或13.因为01，所以.题目4 资料表明，近几年来，郑州市雾霾
4、治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值(2)下表是2019年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在170，180)内组数分组天数第一组50，80)3第二组80，110)4第三组110，140)4第四组140，170)6第五组170，200)5第六组200，230
5、)4第七组230，260)3第八组260，290)1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74211452x1189，解得x172.即重度污染区AQI的平均值为172.(2)由题意知，AQI在170，180)内的天数为1，由题表可知，AQ
6、I在50，170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为11718.又，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).则X的分布列为：X0123P所以E(X)0123.题目5 已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，点M、N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求3k12k2的值解：(1)由题意，得2b4，所以b2.又，且a2c
7、2b28.所以a3，c1.所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知，A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0)根据题意，直线F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆的另一交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)因为F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2)，联立消去y，得14x227x90.由题设知x1x2，所以x1，x2.又k1，k2，所以3k12k2320，则3k12k20.题目6 已知函数f(x)exx2x.(1)判断函数f(x)在区间(，ln 2)上的单调性；(2)若x1ln 2，x2ln 2，且f(x1)f(x2)，证明：ex1x24.(1)解：f(x)ex
8、2x1，f(x)ex2，当xln 2时，f(x)0，所以f(x)在(，ln 2)单调递减又f(ln 2)eln 22ln 2112ln 20，令f(x)0，得x0或xx0(x0(ln 2，)，所以f(x)在(，0)单调递增，在(0，ln 2)单调递减(2)证明：要证ex1x24，即证x1x22ln 2成立当xln 2时，2ln 2xln 2.因为f(2ln 2x)e2ln 2x2(2ln 2x)12x4ln 21，令g(x)f(x)f(2ln 2x)ex4x4ln 2(xln 2)，所以g(x)ex4ex40，当且仅当xln 2时取“”所以g(x)f(x)f(2ln 2x)在(ln 2，)单调
9、递增又因为g(ln 2)0.所以当xln 2时，g(x)g(ln 2)0.因此f(x)f(2ln 2x)因为x2ln 2，所以f(x2)f(2ln 2x2)由于f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(2ln 2x2)由于x2ln 2，知2ln 2x2ln 2.又x1ln 2，由(1)知f(x)在(，ln 2)单调递减，所以x12ln 2x2.则x1x22ln 2，故ex1x24.题目7 1.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y22px(p0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin，l与x轴交于点M.(1)求l的直角坐标方程和
10、点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值解：(1)由2sin得，sin cos ，即yx，所以l的直角坐标方程yx.令y0得点M的直角坐标为(1，0)，所以点M的极坐标为(1，)(2)由(1)知，l的倾斜角为，参数方程为(t为参数)代入方程y22px，得3t24pt8p0.所以t1t2，t1t2.依题设，|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，则|AB|2|MA|MB|，所以(t1t2)2t1t2，即(t1t2)25t1t2.因此5，故p.2选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|.(1)若关于x的不等式f(x)b0的解集为(1，3)，求a，b的值；(2)若g(x)2f(x)2f(x1)，求g(x)的最小值解：(1)由f(x)b0得，|xa|b，当b0时，不合题意；当b0时，abxab，由已知得所以综上，a1，b2.(2)g(x)2|xa|2|x1a|2222，所以当即xa时，g(x)有最小值2.- 10 - 版权所有高考资源网
