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2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 单元质量评估(二) WORD版含解析.DOC

上传人:高**** 文档编号:128276 上传时间:2024-05-25 格式:DOC 页数:14 大小:162KB
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资源描述

1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1抛物线yax2的准线方程是y1,则a的值为(C)A4B4 CD.2若椭圆1的焦点在y轴上,则实数m的取值范围是(B)A. B(0,1) C. D.解析:本题主要考查椭圆的基本概念由题意得3m0,2m10且2m13m,得0m0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为(C)Ayx Byx Cyx Dyx解析:本题主要考查有关双曲线基本概念的运算e21,.又a0,b0,C的渐近线方程为yx,故选C.4已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线

2、交椭圆C于A,B两点,且|AB|3,则C的方程为(C)A.y21 B.1 C.1 D.1解析:如图,|AF2|AB|,|F1F2|2,由椭圆定义得|AF1|2a.在RtAF1F2中,|AF1|2|AF2|2|F1F2|2222.由得a2,b2a2c23.椭圆C的方程为1,应选C.5已知双曲线y2x21的离心率为e,且抛物线y22px的焦点坐标为(e2,0),则p的值为(D)A2 B4 C2 D4解析:由条件知,双曲线的离心率为e,所以抛物线焦点坐标为(2,0),所以2,所以p4.故选D.6如图,过抛物线y23x的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|

3、3,则|AB|(A)A4 B6 C8 D10解析:本题主要考查抛物线的定义如图,分别过点A,B作AA1,BB1垂直于准线l,垂足分别为A1,B1,由抛物线的定义得|BF|BB1|.|BC|2|BF|,|BC|2|BB1|,BCB130.又|AA1|AF|3,|AC|2|AA1|6,|CF|AC|AF|633,|BF|1,|AB|4,故选A.7过椭圆C:1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若椭圆的离心率为,则k的值为(C)A B. C D解析:本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用由题意知点B的横坐标是c,故点B的坐标为,则

4、斜率k(1e),故选C.8已知双曲线1(ab0)的两焦点间的线段F1F2正好被椭圆1(ab0)的两焦点三等分,则该双曲线的渐近线方程为(B)Ayx Byx Cyx Dyx解析:双曲线的焦距为2,椭圆的焦距为2,22,整理得4a25b2,则ab.代入双曲线的渐近线方程yx,得yx.9已知椭圆C1:y21(m1)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(A)Amn,且e1e21 Bmn,且e1e21 Cm1 Dmn,且e1e2n.e1,e2,e1e21.10已知椭圆1的左、右顶点分别为A,B,在椭圆上有一个异于点A,B的动点P,若直线PA的斜率为k0,则直线P

5、B的斜率为(B)A. B Ck0 Dk0解析:本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算由题设知A(2,0),B(2,0)设P(x0,y0)(x02),kPA,kPB.点P在椭圆上,1,y3,kPAkPB.kPAk0,kPB,故选B.11抛物线x26by的准线与双曲线1(a0,b0)的左、右支分别交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若AOCBOC,则双曲线的离心率为(C)A. B3 C. D2解析:抛物线的准线为yb,B,C.易得AOCBOC60,kOCtan60.,e,故选C.12在焦点在x轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是3b2,4b2,则椭圆离心率的范围是(A)A. B.

6、 C. D.解析:设椭圆的标准方程为1(ab0)不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为ykx(假设k0)联立解得x2,y2.所以矩形ABCD的面积S4|xy|2ab,当且仅当k时取等号所以3b22ab4b2,解得.所以e.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点,则p2.解析:双曲线x2y21的左焦点为(,0),故抛物线y22px的准线为x,所以,解得p2.14已知双曲线1上一点P到F(3,0)的距离为6,O为坐标原点,若(),则|1或5.解析:本题主要考查双曲线的定义及向量的中

7、点表示由题意知点F(3,0)为双曲线的右焦点设双曲线1的左焦点为F1,由(),知Q为PF的中点连接PF1,则|.由|4,|6,得|2或10,故|1或5.15已知椭圆1(ab0)的左焦点为F,A(a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶点,若F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率为.解析:直线AB的方程为1,即bxayab0.设F(c,0),则,即.因而|ac|.又b2a2c2,代入上式,并整理得8c214ac5a20,于是8e214e50,解得e或e(舍去)16设抛物线M:y22px(p0)的焦点F是双曲线N:1(a0,b0)的右焦点,若M与N的公共弦AB恰好过点F,则双曲线N的离心率e1.解析:

8、本题主要考查双曲线、抛物线的焦点抛物线M:y22px(p0)的焦点为F,双曲线N:1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),c.又公共弦AB恰好过点F,得AB为抛物线M的通径,AB2p,b22acc2a22ac,e22e10,e1或e1(舍去)三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上,以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4),求椭圆的标准方程解:设椭圆方程为1(ab0),焦点坐标为F1(c,0),F2(c,0)以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4),c|OP|5.所求椭圆的方程为1.1

9、8(12分)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点(1)用p表示|AB|;(2)若3,求这个抛物线的方程解:(1)抛物线的焦点为F,过点F且倾斜角为的直线方程是yx.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x23px0,x1x23p,x1x2,|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知x1x2,x1x23p,y1y2x1x2(x1x2)p2,x1x2y1y2p23,解得p24,p2.这个抛物线的方程为y24x.19(12分)设点P(x,y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)

10、求点P的轨迹方程;(2)若直线l:ykx1与点P的轨迹相交于A,B两点,且|AB|2,求k的值解:(1)过P作x轴的垂线且垂足为N,由题意可知|PM|PN|,而y0,所以|PN|y,所以 y,化简得x22y(y0)为所求的方程(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x22kx20,所以x1x22k,x1x22,|AB|2,所以k43k240,而k20,所以k21,所以k1.20(12分)设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x2上,l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取

11、值范围解:(1)x1x20,证明:点F在直线l上|FA|FB|A,B两点到抛物线的准线的距离相等,抛物线的准线是x轴的平行线,上述条件等价于y1y2xx(x1x2)(x1x2)0,x1x2,当且仅当x1x20时,直线l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意,得l的方程为y2xb.则过点A,B的直线方程可写为yxm,联立化简得2x2xm0,x1x2.A,B为抛物线上不同的两点,上述方程的判别式8m0,即m.设AB的中点N的坐标为(x0,y0),则x0,y0x0mm.又点N在直线l上,mb,于是bm,l在y轴上的截距的取值范围为.21(12分)设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分

12、别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且20,过A,Q,F2三点的圆的半径为2.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间)(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l的斜率k0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由解:(1)因为20,所以F1为F2Q中点设Q的坐标为(3c,0),因为AQAF2,所以b23cc3c2,a24cc4c2,且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(c,0),半径为2c,所以c1.所以a2.b.故所求椭圆方程为1.(2)存在设直线l

13、的方程为ykx2(k0),与椭圆方程联立,消去y可得(34k2)x216kx40.设点G(x1,y1),H(x2,y2),则x1x2.所以(x1m,y1)(x2m,y2)(x1x22m,y1y2)(x1x22m,k(x1x2)4)又(x2x1,y2y1)(x2x1,k(x2x1),由于菱形对角线互相垂直,则()0,所以(x2x1)(x1x2)2mk(x2x1)k(x1x2)40.故(x2x1)(x1x2)2mk2(x1x2)4k0.因为k0,所以x2x10.所以(x1x2)2mk2(x1x2)4k0,即(1k2)(x1x2)4k2m0,所以(1k2)4k2m0,解得m,即m.由0,且k0,可得k.因为k,可以使4k,所以m0,得k2,所以x1x2,x1x2,因为SOAB|OD|x1x2|x1x2|,所以SOANB2SOAB2|x1x2|2228,令4k23t,则4k2t3(由上可知t0),SOANB8882,当且仅当t4,即k2时取等号;所以当k,平行四边形OANB面积的最大值为2,此时直线l的方程为yx2.

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