1、第七章不 等 式第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.突破点(一)不等式的性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0c.0axb或axb0b0，m0，则：(bm0)；0).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
2、比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定(2)若a，b，则a_b(填“”或“”)解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.M N.(2)易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案(1)B(2)方法技巧比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质例2(1)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 Db，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd(3)(201
3、6西安八校联考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)法一(性质判断)：对于A项，由ab0，ab0，故0，故A项错误；对于B项，由ab0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；对于D项，由ab0，得ab0，故0，1，ab2b21，ab2a24，1.故A、B、C项错误，D项正确(2)取a2，b1，c1，d2，可知A错误；当cbcab，B错误；0，a3，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220，x1x26，x1x2109，但x13且x23”是“x1x
4、26且x1x29”的充分不必要条件答案(1)D(2)C(3)A方法技巧不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BAB CAB解析：选B由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2.若m0，n0且mn0，则下列不
5、等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立3.若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选Ca0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故成立成立的个数为3.4.设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的()A充分
6、不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立突破点(二)一元二次不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式
7、ax2bxc0对任意实数x恒成立或考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.方法技巧1解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零
8、的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，
9、恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值考法(一)在实数集R上恒成立例2已知不等式mx22xm10，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立考法(二)在某区间上恒成立例3设函数f(x)mx2mx1(
10、m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，则m0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是mm0或0m.考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围例4对任意m1,1，函数f
11、(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4，则原问题转化为关于m的一次函数问题由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围是(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零易错提醒解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.不等式组的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1解析：选
12、C解x(x2)0，得x0；解|x|1，得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为x|0x12.已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A3 B1 C1 D3解析：选A由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.3.若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切
13、实数x都成立的k的取值范围是(3,04.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10，|a|1恒成立，则x的取值范围为_解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.答案：(，2)(4，)全国卷5年真题集中演练明规
14、律 1.(2014新课标全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1 B1,2) C1,1 D1,2)解析：选AAx|x1或x3，故AB2，1，故选A.2(2014新课标全国卷)设集合M0,1,2，Nx|x23x20，则MN()A1 B2C0,1 D1,2解析：选DNx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(2013新课标全国卷)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则()AAB BABR CBA DAB解析：选B集合Ax|x2或x0，所以ABx|x2或x0x|xR，故选B.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能
15、力1若ab0，则下列不等式不成立的是()A.|b|Cab2 D.ab0，|b|，ab2，又f(x)x是减函数，ab.故C项不成立2函数f(x) 的定义域为()A2,1 B(2,1C2,1) D(，21，)解析：选B要使函数f(x)有意义，则解得2yz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|解析：选C因为xyz，xyz0，所以3xxyz0，所以x0，又yz，所以xyxz，故选C.4不等式组的解集是()A(2,3) B.(2,3)C.(3，) D(，1)(2，)解析：选Bx24x30，1x0，(x2)(2x3)0，x2，原不等式组的解集为(2,3)5
16、已知关于x的不等式ax22xc0的解集为，则不等式cx22xa0的解集为_解析：依题意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即为2x22x120，即x2x60，解得2x0得x1，即Bx|x1，所以ABx|1bac2bc2 B.abC. D.解析：选C当c0时，ac20，bc20，故由ab不能得到ac2bc2，故A错误；当ca0或故选项D错误，C正确故选C.3已知a0，且a1，maa21，naa1，则()Amn Bmn Cm0，n0，两式作商，得a(a21)(a1)aa(a1)，当a1时，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn；当0a1时，a(a1)a01，即mn.综上，对任意的a0
17、，a1，都有mn.4若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A(，4 B4，)C4,3 D4,3)解析：选B不等式x22x30的解集为1,3，假设的解集为空集，则不等式x24x(a1)0的解集为集合x|x3的子集，因为函数f(x)x24x(a1)的图象的对称轴方程为x2，所以必有f(1)4a0，即a0在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解析：选A由a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.6在R上定义运算：adbc，若不等式1对任意实数x恒成
18、立，则实数a的最大值为()A B C. D.解析：选D由定义知，不等式1等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x12，a2a，解得a，则实数a的最大值为.二、填空题7已知a，b，cR，有以下命题：若，则；若，则ab，则a2cb2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上)解析：若c0，则命题不成立由得0，于是a0知命题正确答案：8若0a0的解集是_解析：原不等式为(xa)0，由0a1得a，ax0，则x0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a3
19、2.不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得故a的值为3或3，b的值为3.12已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2.当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“对任意的x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.则a的
20、取值范围为.第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.突破点(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域
21、，然后根据区域的形状求面积2求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当ABC为等腰直角三角形(A为直角)时，点B到直线AC的距离即ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出例1不等式组表示的平面区域的面积为()A4 B1 C5 D无穷大解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.答案B方法技巧解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三
22、角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解提醒求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中
23、求解例2若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)由得A，；由得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中a的取值范围是0zC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.5.设x，y满足约束条件则z(x1)2y2的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(x1)2y2可看作点(x，y)到点P(1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(1，0)的距离最大解方程组得A点的坐标为(3,8)，代入z(x1)2y2，得zmax(31)28280.答案：8
24、0突破点(三)线性规划的实际应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 解线性规划应用题的一般步骤考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 线性规划的实际应用典例某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12万元 B16万元C17万元 D18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最
25、大值为324318.答案D易错提醒求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x()A10 B12 C13 D16解析：选C如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线ba0，并平移，结合a，bN，可知当a6，b7时，ab取最大值，故
26、x6713.2A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组解得则zmax 300340021 700.
27、故最大利润是1 700元答案：1 700 全国卷5年真题集中演练明规律 1(2014新课标全国卷)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p4Cp1，p2 Dp1，p3解析：选C画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数zx2y经过可行域内的点A(2，1)时，取得最小值0，故x2y0，因此p1，p2是真命题，选C.2(2013新课标全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析：选B
28、由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分所示，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1，则22a1，a，故选B.3(2016全国丙卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示平移直线xy0，当直线经过A点时，z取得最大值， 由得A1，zmax1.答案：4(2016全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，
29、用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示作直线2 100x900y0，即7x3y0并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得B(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 0005(2015新课标全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析
30、：画出可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.答案：36(2012新课标全国卷)设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线yx过点A(1,2)时，z取得最小值为3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为3,3答案：3,3课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2) B(2,0) C(0，2) D(2,0)解析：选C将四
31、个点的坐标分别代入不等式组验证可知，满足条件的只有(0，2)2不等式组所表示的平面区域的面积等于()A. B. C. D.解析：选C平面区域如图中阴影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.3若x，y满足则zx2y的最大值为()A0 B1 C. D2解析：选D作出不等式组所表示的平面区域，如图所示作直线x2y0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，zx2y取最大值，即zmax0212.4若x，y满足约束条件则(x2)2(y3)2的最小值为()A1 B. C5 D9解析：选B不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(2，3)到直线xy20的距离为，
32、所以(x2)2(y3)2的最小值为2，故选B.5设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax 3224.答案：4练常考题点检验高考能力一、选择题1若x，y满足不等式组则z3xy的最大值为()A11 B11 C13 D13解析：选A将z3xy化为y3xz，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y3xz经过点D时，z取得最大值联立得D(4，1)，此时zmax43111，故选A.2(2017河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z6x2y的最小值是10，则z的
33、最大值是()A20 B22 C24 D26解析：选A 由z6x2y，得y3x，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y3x经过点C时，直线的纵截距最小，即z6x2y取得最小值10，由解得即C(2，1)，将其代入直线方程2xyc0，得c5，即直线方程为2xy50，平移直线3xy0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z6x2y，得zmax63220，故选A.3若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2 C. D解析：选D作出线性约束条件的可行域当k0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、
34、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为()A(0,2) B. C. D.解析：选B约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：axy0，过点(1,1)作l的平行线l，要满足题意，则直线l的斜率介于直线x2y30与直线y1的斜率之间，因此，a0，即0a.故选B.二、填空题7若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置
35、时，m取最大值解方程组得A点坐标为(1,2)，m的最大值是1.答案：18已知实数x，y满足则z2x2y1的取值范围是_解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知221z0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大
36、)考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”通过拼凑法利用基本不等式求最值例1(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_解析(1)0x1，x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时，等号成立(2)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.答案(1)B(2)1方法技巧通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式
37、中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提通过常数代换法利用基本不等式求最值例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立答案4方法技巧常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值通过消元法利用基本不等式求最值例3已知正实数
38、x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_解析因为xy2xy4，所以x.由x0，得2y0，则0y4，所以xyy(y2)323，当且仅当y2(0y0，b0，ab1，则的最小值为_解析：252549.当且仅当ab时，取等号答案：95.实数x，y满足x2y2，则3x9y的最小值是_解析：利用基本不等式可得3x9y3x32y22 .x2y2，3x9y26，当且仅当3x32y，即x1，y时取等号答案：6突破点(二)基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.考点贯通 抓高考命题的“形”与“
39、神” 基本不等式的实际应用例1某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是2 20，当且仅当，即x80时取等号答案B方法技巧利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际
40、问题有意义的自变量的取值范围)内求解基本不等式与其他知识的交汇问题例2设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B. C. D4解析不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示由zaxby得yx，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a6b12，即2a3b6，所以4，当且仅当a，b1时等号成立答案D方法技巧求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本
41、不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解与基本不等式有关的参数问题例3(1)已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8(2)设xyz，且(nN)恒成立，则n的最大值为()A2 B3 C4 D5解析(1)(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4，故选B.(2)因为xyz，所以xy0，yz0，xz0，不等式恒成立等价于n(xz)恒成立因为xz(xy)(yz)2，2，所以(xz)224(当且仅当xyyz时等号成立)，则要使n
42、(xz)恒成立，只需使n4(nN)，故n的最大值为4.答案(1)B(2)C方法技巧求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.(2016银川模拟)若直线2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则的最小值是()A2 B.1C32 D32解析：选C圆心为(1,2)在直线2axby20上，ab1，(ab)332.当且仅当，即a2，b1时等号成立2.(2016东北育才学校模拟)设(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 B. C
43、8 D9解析：选D(a1，1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)552 9，当且仅当即ab时等号成立3.已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)解析：选B由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，当且仅当3x，即xlog32时，等号成立，k12，即k0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：85.已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x(x2y)2
44、(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又，因此有2，即的最小值为2.答案：2近五年全国卷对本节内容未直接考查课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析：选C因为ab0，所以0，0，所以2 2，当且仅当ab时取等号2下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C对选项A，当x0时，x2x20，lglg x，故不成立；对选项B，当sin x0时显然不成立；对选项C，x2
45、1|x|212|x|，一定成立；对选项D，x211，00时，函数f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2解析：选Bf(x)1.当且仅当x，x0即x1时取等号所以f(x)有最大值1.4已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析：由a2b3得ab1，2 .当且仅当a2b时取等号答案：5已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：f(x)4x24，当且仅当4x，即a4x2时取等号，则由题意知a43236.答案：36练常考题点检验高考能力一、选择题1.(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.解析：选B因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式可知，
46、当且仅当a时等号成立2若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2解析：选D12x2y22当且仅当2x2y，即xy1时等号成立，2xy，得xy2.3若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5解析：选C将(1,1)代入直线1得1，a0，b0，故ab(ab)2224，当且仅当ab时等号成立，故ab的最小值为4.4(2016铜陵二模)已知a1，b2，(a1)(b2)16，则ab的最小值是()A4 B5 C6 D7解析：选B因为a1，b2，所以a10，b20，又(a1)(b2)2，即162，整理得ab5，当且仅当a1b24，即a3，b
47、2时等号成立，故选B.5若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()A(1,4) B(，1)(4，)C(4,1) D(，0)(3，)解析：选B不等式x0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是_解析：由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.当且仅当ab1时取等号答案：48若实数a，b满足，则ab的最小值为_解析：由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，当且仅当即a，b2时取等号，所以ab的最小值为2.答案：29(2017青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x2y4，则log2xlog2y的最大值为_解析：因为log2xlog2y
48、log22xy1log221211，当且仅当x2y2，即x2，y1时等号成立，所以log2xlog2y的最大值为1.答案：110已知不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：不等式2xm0可化为2(x1)m2，x1，2(x1)28，当且仅当x3时取等号不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，m210.答案：(10，)三、解答题11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由(1)知1，则xy(xy)10102
49、 18.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.12(2017常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x450，所以2x2 240，当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m2.
